TERCEIRA QUANTIZAÇÃO PELO SDCTIE GRACELI

TRANS-QUÂNTICA SDCTIE GRACELI, TRANSCENDENTE, RELATIVISTA SDCTIE GRACELI, E TRANS-INDETERMINADA.

FUNDAMENTA-SE EM QUE TODA FORMA DE REALIDADE SE ENCONTRA EM TRANSFORMAÇÕES, INTERAÇÕES, TRANSIÇÕES DE ESTADOS [ESTADOS DE GRACELI], ENERGIAS E FENÔMENOS DENTRO DE UM SISTEMA DE DEZ OU MAIS DIMENSÕES DE GRACELI, E CATEGORIAS DE GRACELI.

FUNÇÃO GERAL GRACELI DA TRANS- INDETERMINALIDADE PELO SDCTIE GRACELI

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DO SISTEMA [SDCTIE GRACELI] DE  INTERAÇÕES, TRANSFORMAÇÕES EM CADEIAS, DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.  E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =

TRANSFORMAÇÕES ⇔ INTERAÇÕES  ⇔  TUNELAMENTO ⇔ EMARANHAMENTO ⇔ CONDUTIVIDADE  ⇔ DIFRAÇÕES ⇔ estrutura eletrônica, spin, radioatividade, ABSORÇÕES E EMISSÕES INTERNA ⇔  Δ de temperatura e dinâmicas, transições de estados quântico Δ ENERGIAS,  ⇔   Δ MASSA ,   ⇔ Δ  CAMADAS ORBITAIS ,  ⇔  Δ FENÔMENOS  ,  ⇔  Δ  DINÂMICAS,   ⇔  Δ  VALÊNCIAS,   ⇔  Δ BANDAS,  Δ  entropia e de entalpia,  E OUTROS.  

x

 [EQUAÇÃO DE DIRAC].

 + FUNÇÃO TÉRMICA.

   +    FUNÇÃO DE RADIOATIVIDADE

  ,      +   FUNÇÃO DE TUNELAMENTO QUÂNTICO.

  + ENTROPIA REVERSÍVEL 

+      FUNÇÃO DE CONDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA

 ENERGIA DE PLANCK

X

• 
  V [R] [MA] =  Δe,M, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......

  ΤDCG

  X

  Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......  =
  x
  

  sistema de dez dimensões de Graceli + 

  DIMENSÕES EXTRAS DO SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.[como, spins, posicionamento, afastamento, ESTRUTURA ELETRÔNICA, e outras já relacionadas]..
• 
  
• DIMENSÕES DE FASES DE ESTADOS DE TRANSIÇÕES DE GRACELI.
  

  x

  sistema de transições de estados, e estados  de Graceli, fluxos aleatórios quântico, potencial entrópico e de entalpia. [estados de transições de fases de estados de estruturas, quântico, fenomênico, de energias, e dimensional [sistema de estados de Graceli].

  x

número atômico, estrutura eletrônica, níveis de energia 

[comprimento de onda (λ).

onde c, velocidade da luz, é igual a .]

X

• TEMPO ESPECÍFICO E FENOMÊNICO DE GRACELI.
• X
• CATEGORIAS DE GRACELI
• T l    T l     E l       Fl         dfG l   

  N l    El                 tf l

  P l    Ml                 tfefel 

  Ta l   Rl

           Ll
           D

X

PARA TODA FORMA DE FUNÇÕES E EQUAÇÕES EM:

 

Na mecânica quântica , a teoria da perturbação é um conjunto de esquemas de aproximação diretamente relacionados à perturbação matemática para descrever um sistema quântico complicado em termos de um sistema mais simples. A idéia é começar com um sistema simples pelo qual uma solução matemática seja conhecida e adicionar um hamiltoniano "perturbador" adicional que represente uma perturbação fraca no sistema. Se a perturbação não for muito grande, as várias grandezas físicas associadas ao sistema perturbado (por exemplo, seus níveis de energia e níveis próprios de energia)) podem ser expressos como "correções" às do sistema simples. Essas correções, sendo pequenas em comparação com o tamanho das próprias quantidades, podem ser calculadas usando métodos aproximados, como séries assintóticas . O sistema complicado pode, portanto, ser estudado com base no conhecimento do sistema mais simples. Na verdade, está descrevendo um sistema não resolvido complicado usando um sistema simples e resolvido.

Hamiltonianos aproximados [ editar ]

A teoria da perturbação é uma ferramenta importante para descrever sistemas quânticos reais, pois é muito difícil encontrar soluções exatas para a equação de Schrödinger para Hamiltonianos de complexidade moderada. Os hamiltonianos para os quais conhecemos soluções exatas, como o átomo de hidrogênio , o oscilador harmônico quântico e a partícula em uma caixa , são idealizados demais para descrever adequadamente a maioria dos sistemas. Usando a teoria das perturbações, podemos usar as soluções conhecidas desses hamiltonianos simples para gerar soluções para uma variedade de sistemas mais complicados.

Aplicando teoria de perturbação [ editar ]

A teoria da perturbação é aplicável se o problema em questão não puder ser resolvido exatamente, mas puder ser formulado adicionando um termo "pequeno" à descrição matemática do problema exatamente solucionável.

Por exemplo, adicionando um potencial elétrico perturbador ao modelo de mecânica quântica do átomo de hidrogênio, pequenas mudanças nas linhas espectrais de hidrogênio causadas pela presença de um campo elétrico ( efeito Stark ) podem ser calculadas. Isso é apenas aproximado porque a soma de um potencial de Coulomb com um potencial linear é instável (não possui estados de ligação verdadeiros), embora o tempo de tunelamento ( taxa de decaimento ) seja muito longo. Essa instabilidade aparece como um alargamento das linhas do espectro de energia, cuja teoria da perturbação falha em se reproduzir inteiramente.

As expressões produzidas pela teoria das perturbações não são exatas, mas podem levar a resultados precisos, desde que o parâmetro de expansão, digamos α , seja muito pequeno. Normalmente, os resultados são expressos em termos de séries de potências finitas em α que parecem convergir para os valores exatos quando somados em ordem superior. Após uma certa ordem n ~ 1 / α , no entanto, os resultados se tornam cada vez piores, pois as séries são geralmente divergentes (sendo séries assintóticas ). Existem maneiras de convertê-los em séries convergentes, que podem ser avaliadas para parâmetros de grande expansão, com mais eficiência pelo método variacional .

Na teoria da eletrodinâmica quântica (QED), na qual a interação elétron - fóton é tratada de maneira perturbadora, o cálculo do momento magnético do elétron concorda com o experimento de onze casas decimais. ^[1] No QED e em outras teorias quânticas de campos , técnicas especiais de cálculo conhecidas como diagramas de Feynman são usadas para somar sistematicamente os termos das séries de potência.

Limitações [ editar ]

Perturbações grandes [ editar ]

Sob algumas circunstâncias, a teoria da perturbação é uma abordagem inválida a ser adotada. Isso acontece quando o sistema que desejamos descrever não pode ser descrito por uma pequena perturbação imposta a algum sistema simples. Na cromodinâmica quântica , por exemplo, a interação de quarks com o campo de glúons não pode ser tratada perturbativamente com baixas energias, porque a constante de acoplamento (o parâmetro de expansão) se torna muito grande. ^{[ esclarecimentos necessários ]}

Estados não adiabáticos [ editar ]

A teoria da perturbação também falha em descrever estados que não são gerados adiabaticamente a partir do "modelo livre", incluindo estados ligados e vários fenômenos coletivos, como os solitões . ^{[ citação necessário ]} Imagine, por exemplo, que temos um sistema de partículas livres (ou seja, não interagindo), nas quais uma interação atraente é introduzida. Dependendo da forma da interação, isso pode criar um conjunto inteiramente novo de valores próprios correspondentes a grupos de partículas ligadas umas às outras. Um exemplo desse fenômeno pode ser encontrado na supercondutividade convencional , na qual a atração mediada por fônon entre elétrons de conduçãoleva à formação de pares de elétrons correlacionados, conhecidos como pares de Cooper . Quando confrontados com esses sistemas, geralmente se volta para outros esquemas de aproximação, como o método variacional e a aproximação WKB . Isso ocorre porque não há análogo de uma partícula ligada no modelo imperturbável e a energia de um soliton normalmente passa como o inverso do parâmetro de expansão. No entanto, se "integrarmos" os fenômenos solitônicos, as correções não-perturbativas nesse caso serão mínimas; da ordem de exp (-1 / g ) ou exp (-1 / g ² ) no parâmetro de perturbação g. A teoria da perturbação só pode detectar soluções "próximas" da solução não perturbada, mesmo se houver outras soluções para as quais a expansão perturbativa não é válida. ^{[ citação necessária ]}

Cálculos difíceis [ editar ]

O problema dos sistemas não-perturbativos foi um pouco aliviado pelo advento dos computadores modernos . Tornou-se prático obter soluções numéricas não perturbativas para certos problemas, usando métodos como a teoria funcional da densidade . Esses avanços foram particularmente benéficos para o campo da química quântica . ^{[2] Os} computadores também foram utilizados para realizar cálculos da teoria das perturbações com níveis extraordinariamente altos de precisão, o que se mostrou importante na física de partículas para gerar resultados teóricos que podem ser comparados com experimentos.

Teoria de perturbação independente do tempo [ editar ]

A teoria da perturbação independente do tempo é uma das duas categorias da teoria da perturbação, a outra sendo a perturbação dependente do tempo (consulte a próxima seção). Na teoria da perturbação independente do tempo, a perturbação hamiltoniana é estática (isto é, não possui dependência de tempo). A teoria da perturbação independente do tempo foi apresentada por Erwin Schrödinger em um artigo de 1926, ^[3] logo após ele produzir suas teorias na mecânica das ondas. Neste artigo, Schrödinger se referiu ao trabalho anterior de Lord Rayleigh , ^[4] que investigou vibrações harmônicas de uma corda perturbada por pequenas inomogeneidades. É por isso que essa teoria das perturbações é frequentemente chamada de teoria das perturbações de Rayleigh-Schrödinger . ^[5]

Primeiras correções de ordem [ editar ]

O processo começa com um Hamiltoniano H ₀ imperturbável , que se supõe não ter dependência de tempo. ^[6] Conhece níveis de energia e valores próprios , decorrentes da equação de Schrödinger independente do tempo :

$${\ displaystyle H_ {0} \ left | n ^ {(0)} \ right \ rangle = E_ {n} ^ {(0)} \ left | n ^ {(0)} \ right \ rangle, \ qquad n = 1,2,3, \ cdots}

Por simplicidade, supõe-se que as energias sejam discretas. Os sobrescritos (0) indicam que essas quantidades estão associadas ao sistema imperturbado. Observe o uso da notação braquete .

Uma perturbação é então introduzida no Hamiltoniano. Seja V um hamiltoniano que represente um distúrbio físico fraco, como uma energia potencial produzida por um campo externo. (Assim, V é formalmente um operador hermitiano .) Seja λ um parâmetro adimensional que pode assumir valores que variam continuamente de 0 (sem perturbação) a 1 (a perturbação completa). O hamiltoniano perturbado é:

$${\ displaystyle H = H_ {0} + \ lambda V}

Os níveis de energia e auto-estatutos do Hamiltoniano perturbado são novamente dados pela equação de Schrödinger,

$${\ displaystyle \ left (H_ {0} + \ lambda V \ right) | n \ rangle = E_ {n} | n \ rangle.}

O objetivo é expressar E _n e$${\ displaystyle | n \ rangle}em termos dos níveis de energia e auto-estatutos do antigo hamiltoniano. Se a perturbação for suficientemente fraca, elas podem ser escritas como uma série de potências (Maclaurin) em λ ,

{\ displaystyle {\ begin {alinhado} E_ {n} & = E_ {n} ^ {(0)} + \ lambda E_ {n} ^ {(1)} + \ lambda ^ {2} E_ {n} ^ {(2)} + \ cdots \\ | n \ rangle & = \ left | n ^ {(0)} \ right \ rangle + \ lambda \ left | n ^ {(1)} \ right \ rangle + \ lambda ^ {2} \ left | n ^ {(2)} \ right \ rangle + \ cdots \ end {alinhado}}}

Onde

{\ displaystyle {\ begin {alinhado} E_ {n} ^ {(k)} & = {\ frac {1} {k!}} {\ frac {d ^ {k} E_ {n}} {d \ lambda ^ {k}}} {\ bigg |} _ {\ lambda = 0} \\\ left | n ^ {(k)} \ right \ rangle & = {\ frac {1} {k!}} {\ frac {d ^ {k} | n \ rangle} {d \ lambda ^ {k}}} {\ bigg |} _ {\ lambda = 0.} \ end {alinhado}}}

Quando k = 0 , esses valores são reduzidos aos valores não perturbados, que são o primeiro termo de cada série. Como a perturbação é fraca, os níveis de energia e os estados próprios não devem se desviar muito de seus valores imperturbáveis, e os termos devem se tornar rapidamente menores à medida que a ordem aumenta.

Substituir a expansão da série de potência na equação de Schrödinger produz:

$${\ displaystyle \ left (H_ {0} + \ lambda V \ right) \ left (\ left | n ^ {(0)} \ right \ rangle + \ lambda \ left | n ^ {(1)} \ right \ rangle + \ cdots \ right) = \ left (E_ {n} ^ {(0)} + \ lambda E_ {n} ^ {(1)} + \ cdots \ right) \ left (\ left | n ^ {( 0)} \ right \ rangle + \ lambda \ left | n ^ {(1)} \ right \ rangle + \ cdots \ right).}

Expandir essa equação e comparar coeficientes de cada potência de λ resulta em uma série infinita de equações simultâneas . A equação de ordem zero é simplesmente a equação de Schrödinger para o sistema imperturbado.

A equação de primeira ordem é

$${\ displaystyle H_ {0} \ left | n ^ {(1)} \ right \ rangle + V \ left | n ^ {(0)} \ right \ rangle = E_ {n} ^ {(0)} \ left | n ^ {(1)} \ right \ rangle + E_ {n} ^ {(1)} \ left | n ^ {(0)} \ right \ rangle.}

Operando através de $${\ displaystyle \ langle n ^ {(0)} |}, o primeiro termo no lado esquerdo cancela o primeiro termo no lado direito. (Lembre-se, o hamiltoniano imperturbável é hermitiano ). Isso leva à mudança de energia de primeira ordem,

$${\ displaystyle E_ {n} ^ {(1)} = \ left \ langle n ^ {(0)} \ right | V \ left | n ^ {(0)} \ right \ rangle.}

Este é simplesmente o valor esperado da perturbação hamiltoniana enquanto o sistema está no estado imperturbável.

Esse resultado pode ser interpretado da seguinte maneira: supondo que a perturbação seja aplicada, mas o sistema seja mantido no estado quântico $${\ displaystyle | n ^ {(0)} \ rangle}, que é um estado quântico válido, embora não seja mais um eigenstate de energia. A perturbação faz com que a energia média desse estado aumente em$${\ displaystyle \ langle n ^ {(0)} | V | n ^ {(0)} \ rangle}. No entanto, a verdadeira mudança de energia é ligeiramente diferente, porque o eigenstato perturbado não é exatamente o mesmo que$${\ displaystyle | n ^ {(0)} \ rangle}. Essas mudanças adicionais são dadas pelas correções de segunda e superior ordem da energia.

Antes que as correções no eigenstate de energia sejam computadas, a questão da normalização deve ser abordada. Supondo que

$${\ displaystyle \ left \ langle n ^ {(0)} \ right | \ left.n ^ {(0)} \ right \ rangle = 1,}

mas a teoria da perturbação também pressupõe que $${\ displaystyle \ langle n | n \ rangle = 1}.

Então, na primeira ordem em λ , o seguinte deve ser verdadeiro:

$${\ displaystyle \ left (\ left \ langle n ^ {(0)} \ right | + \ lambda \ left \ langle n ^ {(1)} \ right | \ right) \ left (\ left | n ^ {( 0)} \ right \ rangle + \ lambda \ left | n ^ {(1)} \ right \ rangle \ right) = 1}

$${\ displaystyle \ left \ langle n ^ {(0)} \ right | \ left.n ^ {(0)} \ right \ rangle + \ lambda \ left \ left \ langle n ^ {(0)} \ right | \ left .n ^ {(1)} \ right \ rangle + \ lambda \ left \ langle n ^ {(1)} \ right | \ left.n ^ {(0)} \ right \ rangle + {\ cancel {\ lambda ^ {2} \ left \ langle n ^ {(1)} \ right | \ left.n ^ {(1)} \ right \ rangle}} = 1}

$${\ displaystyle \ left \ langle n ^ {(0)} \ right | \ left.n ^ {(1)} \ right \ rangle + \ left \ langle n ^ {(1)} \ right | \ left.n ^ {(0)} \ right \ rangle = 0.}

Como a fase geral não é determinada na mecânica quântica, sem perda de generalidade , na teoria independente do tempo, pode-se supor que$${\ displaystyle \ langle n ^ {(0)} | n ^ {(1)} \ rangle}é puramente real. Portanto,

$${\ displaystyle \ left \ langle n ^ {(0)} \ right | \ left.n ^ {(1)} \ right \ rangle = \ left \ langle n ^ {(1)} \ right | \ left.n ^ {(0)} \ right \ rangle,}

levando a

$${\ displaystyle \ left \ langle n ^ {(0)} \ right | \ left.n ^ {(1)} \ right \ rangle = 0.}

Para obter a correção de primeira ordem no eigenstato de energia, a expressão para a correção de energia de primeira ordem é inserida novamente no resultado mostrado acima, igualando os coeficientes de primeira ordem de λ . Em seguida, usando a resolução da identidade :

{\ displaystyle {\ begin {alinhado} V \ left | n ^ {(0)} \ right \ rangle & = \ left (\ sum _ {k \ neq n} \ left | k ^ {(0)} \ right \ rangle \ left \ langle k ^ {(0)} \ right | \ right) V \ left | n ^ {(0)} \ right \ rangle + \ left (\ left | n ^ {(0)} \ right \ rangle \ left \ langle n ^ {(0)} \ right | \ right) V \ left | n ^ {(0)} \ right \ rangle \\ & = \ sum _ {k \ neq n} \ left | k ^ {(0)} \ right \ rangle \ left \ langle k ^ {(0)} \ right | V \ left | n ^ {(0)} \ right \ rangle + E_ {n} ^ {(1) } \ left | n ^ {(0)} \ right \ rangle, \ end {alinhado}}}

onde o $${\ displaystyle | k ^ {(0)} \ rangle}estão no complemento ortogonal de$${\ displaystyle | n ^ {(0)} \ rangle}.

A equação de primeira ordem pode assim ser expressa como

$${\ displaystyle \ left (E_ {n} ^ {(0)} - H_ {0} \ right) \ left | n ^ {(1)} \ right \ rangle = \ sum _ {k \ neq n} \ left | k ^ {(0)} \ right \ rangle \ left \ langle k ^ {(0)} \ right | V \ left | n ^ {(0)} \ right \ rangle.}

Supondo que o nível de energia da ordem zerótica não seja degenerado , ou seja, que não haja eigenstato de H ₀ no complemento ortogonal de$${\ displaystyle | n ^ {(0)} \ rangle} com a energia $${\ displaystyle E_ {n} ^ {(0)}}. Após renomear o índice fictício de soma acima, como$${\ displaystyle k '}, qualquer $${\ displaystyle k \ neq n} pode ser escolhido e multiplicado por $${\ displaystyle \ langle k ^ {(0)} |} dando

$${\ displaystyle \ left (E_ {n} ^ {(0)} - E_ {k} ^ {(0)} \ right) \ left \ langle k ^ {(0)} \ right. \ left | n ^ { (1)} \ right \ rangle = \ left \ langle k ^ {(0)} \ right | V \ left | n ^ {(0)} \ right \ rangle.}

O de cima $${\ displaystyle \ langle k ^ {(0)} | n ^ {(1)} \ rangle} também nos fornece o componente da correção de primeira ordem ao longo $${\ displaystyle | k ^ {(0)} \ rangle}.

Assim, no total, o resultado é,

$${\ displaystyle \ left | n ^ {(1)} \ right \ rangle = \ sum _ {k \ neq n} {\ frac {\ left \ langle k ^ {(0)} \ right | V \ left | n ^ {(0)} \ right \ rangle} {E_ {n} ^ {(0)} - E_ {k} ^ {(0)}}} \ left | k ^ {(0)} \ right \ rangle. }

A mudança de primeira ordem na n- ésima enquete própria de energia tem uma contribuição de cada um dos eigenstados de energia k ≠ n . Cada termo é proporcional ao elemento da matriz$${\ displaystyle \ langle k ^ {(0)} | V | n ^ {(0)} \ rangle}, que é uma medida de quanto a perturbação mistura eigenstate n com eigenstate k ; também é inversamente proporcional à diferença de energia entre os eensensatos k e n , o que significa que a perturbação deforma o eensensato em maior extensão se houver mais eensensatos nas energias próximas. A expressão é singular se qualquer um desses estados tiver a mesma energia que o estado n , e é por isso que foi assumido que não há degeneração.

Correções de segunda ordem e superiores [ editar ]

Podemos encontrar os desvios de ordem superior por um procedimento semelhante, embora os cálculos se tornem bastante entediantes com nossa formulação atual. Nossa prescrição de normalização fornece isso

$${\ displaystyle 2 \ left \ langle n ^ {(0)} \ right | \ left.n ^ {(2)} \ right \ rangle + \ left \ langle n ^ {(1)} \ right | \ left. n ^ {(1)} \ right \ rangle = 0.}

Até a segunda ordem, as expressões para as energias e os eensensatos (normalizados) são:

$${\ displaystyle E_ {n} (\ lambda) = E_ {n} ^ {(0)} + \ lambda \ left \ langle n ^ {(0)} \ right | V \ left | n ^ {(0)} \ right \ rangle + \ lambda ^ {2} \ sum _ {k \ neq n} {\ frac {\ left | \ left \ langle k ^ {(0)} \ right | V \ left | n ^ {(0 )} \ right \ rangle \ right | ^ {2}} {E_ {n} ^ {(0)} - E_ {k} ^ {(0)}}} + O (\ lambda ^ {3})}

${\displaystyle {\begin{aligned}|n(\lambda )\rangle =\left|n^{(0)}\right\rangle &+\lambda \sum _{k\neq n}\left|k^{(0)}\right\rangle {\frac {\left\langle k^{(0)}\right|V\left|n^{(0)}\right\rangle }{E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)}}}+\lambda ^{2}\sum _{k\neq n}\sum _{\ell \neq n}\left|k^{(0)}\right\rangle {\frac {\left\langle k^{(0)}\right|V\left|\ell ^{(0)}\right\rangle \left\langle \ell ^{(0)}\right|V\left|n^{(0)}\right\rangle }{\left(E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)}\right)\left(E_{n}^{(0)}-E_{\ell }^{(0)}\right)}}\\&-\lambda ^{2}\sum _{k\neq n}\left|k^{(0)}\right\rangle {\frac {\left\langle n^{(0)}\right|V\left|n^{(0)}\right\rangle \left\langle k^{(0)}\right|V\left|n^{(0)}\right\rangle }{\left(E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)}\right)^{2}}}-{\frac {1}{2}}\lambda ^{2}\left|n^{(0)}\right\rangle \sum _{k\neq n}{\frac {\left\langle n^{(0)}\right|V\left|k^{(0)}\right\rangle \left\langle k^{(0)}\right|V\left|n^{(0)}\right\rangle }{\left(E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)}\right)^{2}}}+O(\lambda ^{3}).\end{aligned}}}$

Estendendo o processo ainda mais, a correção de energia de terceira ordem pode ser mostrada como ^[7]

$${\ displaystyle E_ {n} ^ {(3)} = \ sum _ {k \ neq n} \ sum _ {m \ neq n} {\ frac {\ langle n ^ {(0)} | V | m ^ {(0)} \ rangle \ langle m ^ {(0)} | V | k ^ {(0)} \ rangle \ langle k ^ {(0)} | V | n ^ {(0)} \ rangle} {\ left (E_ {n} ^ {(0)} - E_ {m} ^ {(0)} \ right) \ left (E_ {n} ^ {(0)} - E_ {k} ^ {(0 )} \ right)}} - \ langle n ^ {(0)} | V | n ^ {(0)} \ rangle \ sum _ {m \ neq n} {\ frac {| \ langle n ^ {(0 )} | V | m ^ {(0)} \ rangle | ^ {2}} {\ left (E_ {n} ^ {(0)} - E_ {m} ^ {(0)} \ right) ^ { 2}}}.}

mostrar

Correções para quinta ordem (energias) e quarta ordem (estados) em notação compacta

Efeitos da degenerescência [ editar ]

Suponha que dois ou mais níveis de energia degenerados . A mudança de energia de primeira ordem não está bem definida, pois não há uma maneira única de escolher uma base de valores próprios para o sistema imperturbável. Os vários eigenstates para uma determinada energia perturbarão com energias diferentes, ou podem muito bem não possuir uma família contínua de perturbações.

Isso se manifesta no cálculo do estado autônomo perturbado pelo fato de o operador

$${\ displaystyle E_ {n} ^ {(0)} - H_ {0}}

não tem um inverso bem definido.

Let D denotam o subespaço gerado por estes autoestados degenerados. Não importa quão pequena seja a perturbação, no subespaço degenerado D as diferenças de energia entre os estados próprios de H são diferentes de zero, portanto, é garantida a mistura completa de pelo menos alguns desses estados. Tipicamente, os valores próprios vão dividir, e os auto-espaços irão tornar-se simples (unidimensional), ou, pelo menos, de dimensão menor do que D .

As perturbações de sucesso não será "pequeno" em relação a uma base mal escolhido de D . Em vez disso, nós consideramos a perturbação "pequeno" se o novo eigenstate está perto do subespaço D . O novo Hamiltoniano deve ser diagonalizado em D , ou uma ligeira variação de D , por assim dizer. Esses eigenstates perturbados em D são agora a base para a expansão da perturbação,

$${\ displaystyle | n \ rangle = \ sum _ {k \ em D} \ alpha _ {nk} | k ^ {(0)} \ rangle + \ lambda | n ^ {(1)} \ rangle.}

Para a perturbação de primeira ordem, precisamos resolver o hamiltoniano perturbado restrito ao subespaço degenerado D ,

$${\ displaystyle V | k ^ {(0)} \ rangle = \ epsilon _ {k} | k ^ {(0)} \ rangle + {\ text {small}} \ qquad \ forall | k ^ {(0) } \ rangle \ em D,}

simultaneamente para todos os eigenstates degenerados, onde $${\ displaystyle \ epsilon _ {k}} são correções de primeira ordem aos níveis de energia degenerados e "pequeno" é um vetor de $${\ displaystyle O (\ lambda)}ortogonal para D . Isso equivale a diagonalizar a matriz

$${\ displaystyle \ langle k ^ {(0)} | V | l ^ {(0)} \ rangle = V_ {kl} \ qquad \ forall \; | k ^ {(0)} \ rangle | l ^ { (0)} \ rangle \ em D.}

Este procedimento é aproximado, pois negligenciamos estados fora do subespaço D ("pequeno"). A divisão de energias degeneradas$${\ displaystyle \ epsilon _ {k}}é geralmente observado. Embora a divisão possa ser pequena,$${\ displaystyle O (\ lambda)}, comparado à gama de energias encontradas no sistema, é crucial para a compreensão de certos detalhes, como linhas espectrais em experimentos de ressonância de rotação eletrônica .

As correções de ordem superior devido a outros eensensatos fora de D podem ser encontradas da mesma maneira que no caso não degenerado,

$${\ displaystyle \ left (E_ {n} ^ {(0)} - H_ {0} \ right) | n ^ {(1)} \ rangle = \ sum _ {k \ not \ em D} \ left (\ emaranhado k ^ {(0)} | V | n ^ {(0)} \ rangle \ right) | k ^ {(0)} \ rangle.}

O operador no lado esquerdo não é singular quando aplicado a estados próprios fora de D , para que possamos escrever

$${\ displaystyle | n ^ {(1)} \ rangle = \ sum _ {k \ not \ in D} {\ frac {\ langle k ^ {(0)} | V | n ^ {(0)} \ rangle } {E_ {n} ^ {(0)} - E_ {k} ^ {(0)}}} | k ^ {(0)} \ rangle}

mas o efeito nos estados degenerados é de $${\ displaystyle O (\ lambda)}.

Os estados quase degenerados também devem ser tratados da mesma forma, quando as divisões hamiltonianas originais não são maiores que a perturbação no subespaço quase degenerado. Uma aplicação é encontrada no modelo de elétrons quase livre , onde a quase degeneração, tratada adequadamente, gera um gap de energia, mesmo para pequenas perturbações. Outros eigenstates apenas mudarão a energia absoluta de todos os estados quase degenerados simultaneamente.

Generalização para caso com vários parâmetros [ editar ]

A generalização da teoria da perturbação independente do tempo para o caso em que existem vários pequenos parâmetros $${\ displaystyle x ^ {\ mu} = (x ^ {1}, x ^ {2}, \ cdots)}no lugar de λ pode ser formulado de forma mais sistemática usando a linguagem da geometria diferencial , que basicamente define as derivadas dos estados quânticos e calcula as correções perturbativas tomando derivadas iterativamente no ponto imperturbável.

Hamiltoniano e força operador [ editar ]

Do ponto de vista geométrico diferencial, um Hamiltoniano parametrizado é considerado uma função definida no coletor de parâmetros que mapeia cada conjunto de parâmetros em particular$${\ displaystyle (x ^ {1}, x ^ {2}, \ cdots)}a um operador hermitiano H ( x ^μ ) que atua no espaço Hilbert. Os parâmetros aqui podem ser campo externo, força de interação ou parâmetros de acionamento na transição de fase quântica . Seja E _n ( x ^μ ) e$${\ displaystyle | n (x ^ {\ mu}) \ rangle}seja a n- ésima energia própria e energia própria de H ( x ^μ ), respectivamente. Na linguagem da geometria diferencial, os estados$${\ displaystyle | n (x ^ {\ mu}) \ rangle}formar um pacote vetorial sobre o coletor de parâmetros, no qual derivadas desses estados podem ser definidas. A teoria da perturbação é responder à seguinte pergunta: dada$${\ displaystyle E_ {n} (x_ {0} ^ {\ mu})} e $${\ displaystyle | n (x_ {0} ^ {\ mu}) \ rangle} em um ponto de referência imperturbável $${\ displaystyle x_ {0} ^ {\ mu}}, como estimar E _n ( x ^μ ) e$${\ displaystyle | n (x ^ {\ mu}) \ rangle}em x ^µ perto desse ponto de referência.

Sem perda de generalidade, o sistema de coordenadas pode ser deslocado, de modo que o ponto de referência $${\ displaystyle x_ {0} ^ {\ mu} = 0}está definido para ser a origem. O seguinte Hamiltoniano linearmente parametrizado é freqüentemente usado

$${\ displaystyle H (x ^ {\ mu}) = H (0) + x ^ {\ mu} F _ {\ mu}.}

Se os parâmetros x ^μ são considerados coordenadas generalizadas, F _μ deve ser identificado como o operador de força generalizado relacionado a essas coordenadas. Índices diferentes μ rotulam as diferentes forças ao longo de diferentes direções no coletor de parâmetros. Por exemplo, se x ^μ indica o campo magnético externo na direção μ , então F _μ deve ser a magnetização na mesma direção.

Teoria de perturbação como a expansão em série de potências [ editar ]

A validade da teoria das perturbações está na suposição adiabática, que assume que as autovenergias e autovalores do Hamiltoniano são funções suaves de parâmetros, de modo que seus valores na região vizinha possam ser calculados em séries de potência (como a expansão de Taylor ) dos parâmetros:

{\ displaystyle {\ begin {alinhado} E_ {n} (x ^ {\ mu}) & = E_ {n} + x ^ {\ mu} \ parcial _ {\ mu} E_ {n} + {\ frac { 1} {2!}} X ^ {\ mu} x ^ {\ nu} \ parcial _ {\ mu} \ parcial _ {\ nu} E_ {n} + \ cdots \\\ restantes | n (x ^ { \ mu}) \ right \ rangle & = | n \ rangle + x ^ {\ mu} | \ parcial _ {\ mu} n \ rangle + {\ frac {1} {2!}} x ^ {\ mu} x ^ {\ nu} | \ parcial _ {\ mu} \ parcial _ {\ nu} n \ rangle + \ cdots \ end {alinhado}}}

Aqui denotes _μ indica a derivada em relação a x ^μ . Ao aplicar para o estado$${\ displaystyle | \ parcial _ {\ mu} n \ rangle}, deve ser entendido como o derivado covariante se o pacote vetorial estiver equipado com uma conexão sem fuga . Todos os termos do lado direito da série são avaliados em x ^μ = 0 , por exemplo, E _n ≡ E _n (0) e$${\ displaystyle | n \ rangle \ equiv | n (0) \ rangle}. Esta convenção será adotada ao longo desta subseção, de que todas as funções sem a dependência de parâmetro declarada explicitamente serão consideradas na origem. As séries de potência podem convergir lentamente ou até não convergir quando os níveis de energia estão próximos um do outro. A suposição adiabática se decompõe quando há degenerescência no nível de energia e, portanto, a teoria da perturbação não é aplicável nesse caso.

Teoremas Hellmann-Feynman [ editar ]

A expansão da série de potência acima pode ser avaliada prontamente se houver uma abordagem sistemática para calcular os derivados para qualquer ordem. Usando a regra da cadeia , as derivadas podem ser divididas em derivada única na energia ou no estado. Os teoremas de Hellmann – Feynman são usados ​​para calcular essas derivadas simples. O primeiro teorema de Hellmann – Feynman fornece a derivada da energia,

$${\ displaystyle \ parcial _ {\ mu} E_ {n} = \ langle n | \ parcial _ {\ mu} H | n \ rangle}

O segundo teorema de Hellmann – Feynman fornece a derivada do estado (resolvida pela base completa com m ≠ n),

$${\ displaystyle \ langle m | \ parcial _ {\ mu} n \ rangle = {\ frac {\ langle m | \ parcial _ {\ mu} H | n \ rangle} {E_ {n} -E_ {m}} }, \ qquad \ langle \ parcial _ {\ mu} m | n \ rangle = {\ frac {\ langle m | \ parcial _ {\ mu} H | n \ rangle} {E_ {m} -E_ {n} }}.}

Para o Hamiltoniano linearmente parametrizado, ∂ _μ H representa simplesmente o operador de força generalizada F _μ .

Os teoremas podem ser simplesmente derivados aplicando o operador diferencial ∂ _μ a ambos os lados da equação de Schrödinger $${\ displaystyle H | n \ rangle = E_ {n} | n \ rangle,} que lê

$${\ displaystyle \ parcial _ {\ mu} H | n \ rangle + H | \ parcial _ {\ mu} n \ rangle = \ parcial _ {\ mu} E_ {n} | n \ rangle + E_ {n} | \ parcial _ {\ mu} n \ rangle.}

Sobreponha-se ao estado $${\ displaystyle \ langle m |} da esquerda e use a equação de Schrödinger $${\ displaystyle \ langle m | H = \ langle m | E_ {m}} novamente,

$${\ displaystyle \ langle m | \ parcial _ {\ mu} H | n \ rangle + E_ {m} \ langle m | \ parcial _ {\ mu} n \ rangle = \ parcial _ {\ mu} E_ {n} \ langle m | n \ rangle + E_ {n} \ langle m | \ parcial _ {\ mu} n \ rangle.}

Dado que os auto-estatutos do Hamiltoniano sempre formam uma base ortonormal $${\ displaystyle \ langle m | n \ rangle = \ delta _ {mn}}, Os casos de m = n e m ≠ n pode ser discutidos separadamente. O primeiro caso levará ao primeiro teorema e o segundo caso ao segundo teorema, que pode ser mostrado imediatamente reorganizando os termos. Com as regras diferenciais dadas pelos teoremas de Hellmann – Feynman, a correção perturbativa das energias e estados pode ser calculada sistematicamente.

Correção de energia e estado [ editar ]

Na segunda ordem, a correção de energia lê

$${\ displaystyle E_ {n} (x ^ {\ mu}) = \ langle n | H | n \ rangle + \ langle n | \ parcial _ {\ mu} H | n \ rangle x ^ {\ mu} + \ Re \ sum _ {m \ neq n} {\ frac {\ langle n | \ parcial _ {\ nu} H | m \ rangle \ langle m | \ parcial _ {\ mu} H | n \ rangle} {E_ { n} -E_ {m}}} x ^ {\ mu} x ^ {\ nu} + \ cdots,}

Onde $${\ displaystyle \ Re}denota a função real da peça . A derivada de primeira ordem ∂ _μ E _n é dada diretamente pelo primeiro teorema de Hellmann – Feynman. Para obter a segunda derivada ∂ _u ∂ _vmax E _n , simplesmente a aplicação do operador diferencial ∂ _u ao resultado da derivada de primeira ordem$${\ displaystyle \ langle n | \ parcial _ {\ nu} H | n \ rangle}, que lê

$${\ displaystyle \ parcial _ {\ mu} \ parcial _ {\ nu} E_ {n} = \ langle \ parcial _ {\ mu} n | \ parcial _ {\ nu} H | n \ rangle + \ langle n | \ parcial _ {\ mu} \ parcial _ {\ nu} H | n \ rangle + \ langle n | \ parcial _ {\ nu} H | \ parcial _ {\ mu} n \ rangle.}

Observe que para Hamiltoniano linearmente parametrizado, não há segunda derivada ∂ _μ ∂ _ν H = 0 no nível do operador. Resolva a derivada do estado inserindo o conjunto completo de bases,

$${\ displaystyle \ parcial _ {\ mu} \ parcial _ {\ nu} E_ {n} = \ sum _ {m} \ esquerda (\ langle \ parcial _ {\ mu} n | m \ rangle \ langle m | \ parcial {{\ nu} H | n \ rangle + \ langle n | \ parcial _ {\ nu} H | m \ rangle \ langle m | \ parcial _ {\ mu} n \ rangle \ right),}

então todas as partes podem ser calculadas usando os teoremas de Hellmann – Feynman. Em termos de derivados de Lie,$${\ displaystyle \ langle \ parcial _ {\ mu} n | n \ rangle = \ langle n | \ parcial _ {\ mu} n \ rangle = 0}de acordo com a definição da conexão para o pacote vetorial. Portanto, o caso m = n pode ser excluído do somatório, o que evita a singularidade do denominador de energia. O mesmo procedimento pode ser realizado para derivadas de ordem superior, das quais as correções de ordem superior são obtidas.

O mesmo esquema computacional é aplicável para a correção de estados. O resultado para a segunda ordem é o seguinte

${\displaystyle {\begin{aligned}\left|n\left(x^{\mu }\right)\right\rangle =|n\rangle &+\sum _{m\neq n}{\frac {\langle m|\partial _{\mu }H|n\rangle }{E_{n}-E_{m}}}|m\rangle x^{\mu }\\&+\left(\sum _{m\neq n}\sum _{l\neq n}{\frac {\langle m|\partial _{\mu }H|l\rangle \langle l|\partial _{\nu }H|n\rangle }{(E_{n}-E_{m})(E_{n}-E_{l})}}|m\rangle -\sum _{m\neq n}{\frac {\langle m|\partial _{\mu }H|n\rangle \langle n|\partial _{\nu }H|n\rangle }{(E_{n}-E_{m})^{2}}}|m\rangle -{\frac {1}{2}}\sum _{m\neq n}{\frac {\langle n|\partial _{\mu }H|m\rangle \langle m|\partial _{\nu }H|n\rangle }{(E_{n}-E_{m})^{2}}}|n\rangle \right)x^{\mu }x^{\nu }+\cdots .\end{aligned}}}$

Os derivativos de energia e os derivativos estaduais estarão envolvidos na dedução. Sempre que uma derivada de estado for encontrada, resolva-a inserindo o conjunto completo de bases, e o teorema de Hellmann-Feynman é aplicável. Como a diferenciação pode ser calculada sistematicamente, a abordagem de expansão em série para as correções perturbativas pode ser codificada em computadores com software de processamento simbólico como o Mathematica .

Hamiltoniano eficaz [ editar ]

Seja H (0) o Hamiltoniano completamente restrito no subespaço de baixa energia$${\ displaystyle {\ mathcal {H}} _ {L}} ou no subespaço de alta energia $${\ displaystyle {\ mathcal {H}} _ {H}}, de modo que não haja elemento matricial em H (0) conectando os subespaços de baixa e alta energia, ou seja,$${\ displaystyle \ langle m | H (0) | l \ rangle = 0} E se $${\ displaystyle m \ in {\ mathcal {H}} _ {L}, l \ in {\ mathcal {H}} _ {H}}. Seja F _μ = ∂ _μ H os termos de acoplamento que conectam os subespaços. Então, quando os altos graus de energia das liberdades são integrados, o Hamiltoniano efetivo no subespaço de baixa energia lê ^[8]

$${\ displaystyle H_ {mn} ^ {\ text {eff}} \ left (x ^ {\ mu} \ right) = \ langle m | H | n \ rangle + \ delta _ {nm} \ langle m | \ parcial _ {\ mu} H | n \ rangle x ^ {\ mu} + {\ frac {1} {2!}} \ sum _ {l \ in {\ mathcal {H}} _ {H}} \ esquerda ( {\ frac {\ langle m | \ parcial _ {\ mu} H | l \ rangle \ langle l | \ parcial _ {\ nu} H | n \ rangle} {E_ {m} -E_ {l}}} + {\ frac {\ langle m | \ parcial _ {\ nu} H | l \ rangle \ langle l | \ parcial _ {\ mu} H | n \ rangle} {E_ {n} -E_ {l}}} \ direita) x ^ {\ mu} x ^ {\ nu} + \ cdots.}

Aqui $${\ displaystyle m, n \ em {\ mathcal {H}} _ {L}}são restritos no subespaço de baixa energia. O resultado acima pode ser derivado da expansão de séries de potência de$${\ displaystyle \ langle m | H (x ^ {\ mu}) | n \ rangle}.

De uma maneira formal, é possível definir um hamiltoniano eficaz que forneça exatamente os estados de energia mais baixos e as funções de onda. ^[9] Na prática, geralmente é necessário algum tipo de aproximação (teoria das perturbações).

Teoria da perturbação dependente do tempo [ editar ]

Método de variação de constantes [ editar ]

A teoria da perturbação dependente do tempo, desenvolvida por Paul Dirac , estuda o efeito de uma perturbação dependente do tempo V ( t ) aplicada a um Hamiltoniano H ₀ independente do tempo . ^[10]

Como o hamiltoniano perturbado é dependente do tempo, o mesmo ocorre com seus níveis de energia e auto-estima. Assim, os objetivos da teoria das perturbações dependentes do tempo são ligeiramente diferentes da teoria das perturbações independentes do tempo. Um está interessado nas seguintes quantidades:

• O valor da expectativa dependente do tempo de algum A observável , para um determinado estado inicial.
• As amplitudes dependentes do tempo ^{[são necessários esclarecimentos ]} daqueles estados quânticos que são autovetores de energia (autovetores) no sistema imperturbável.

A primeira quantidade é importante porque gera o resultado clássico de uma medição A realizada em um número macroscópico de cópias do sistema perturbado. Por exemplo, poderíamos considerar A como o deslocamento na direção x do elétron em um átomo de hidrogênio; nesse caso, o valor esperado, quando multiplicado por um coeficiente apropriado, fornece a polarização dielétrica dependente do tempo de um gás de hidrogênio. Com uma escolha apropriada de perturbação (ou seja, um potencial elétrico oscilante), isso permite calcular a permissividade CA do gás.

A segunda quantidade examina a probabilidade de ocupação dependente do tempo para cada auto-estatuto. Isso é particularmente útil na física do laser , onde se interessa pelas populações de diferentes estados atômicos em um gás quando um campo elétrico dependente do tempo é aplicado. Essas probabilidades também são úteis para calcular o "alargamento quântico" das linhas espectrais (veja o alargamento de linhas ) e o decaimento de partículas na física de partículas e na física nuclear .

Examinaremos brevemente o método por trás da formulação de Dirac da teoria das perturbações dependentes do tempo. Escolha uma base de energia$${\ displaystyle {| n \ rangle}}para o sistema imperturbável. (Removemos os sobrescritos (0) para os estados próprios, porque não é útil falar de níveis de energia e estados próprios para o sistema perturbado.)

Se o sistema não perturbado for um auto-estatuto (do Hamiltoniano) $${\ displaystyle | j \ rangle}no tempo t = 0, seu estado nos momentos subsequentes varia apenas por uma fase (na imagem de Schrödinger , onde os vetores de estado evoluem no tempo e os operadores são constantes),

$${\ displaystyle | j (t) \ rangle = e ^ {- iE_ {j} t / \ hbar} | j \ rangle ~.}

Agora, introduza um Hamiltoniano V ( t ) perturbador e dependente do tempo . O Hamiltoniano do sistema perturbado é

$${\ displaystyle H = H_ {0} + V (t) ~.}

Deixei $${\ displaystyle | \ psi (t) \ rangle}denotar o estado quântico do sistema perturbado no tempo t . Obedeça à equação de Schrödinger dependente do tempo,

$${\ displaystyle H | \ psi (t) \ rangle = i \ hbar {\ frac {\ parcial} {\ parcial t}} | \ psi (t) \ rangle ~.}

O estado quântico em cada instante pode ser expresso como uma combinação linear da base própria completa de $${\ displaystyle | n \ rangle}:

$${\ displaystyle | \ psi (t) \ rangle = \ sum _ {n} c_ {n} (t) e ^ {- iE_ {n} t / \ hbar} | n \ rangle ~,}

( 1 )

onde os c _n ( t ) s devem ser determinados funções complexas de t às quais nos referiremos como amplitudes (estritamente falando, são as amplitudes na imagem de Dirac ).

Extraímos explicitamente os fatores de fase exponencial $${\ displaystyle \ exp (-iE_ {n} t / \ hbar)}no lado direito. Isso é apenas uma questão de convenção e pode ser feito sem perda de generalidade. A razão pela qual enfrentamos esse problema é que, quando o sistema inicia no estado$${\ displaystyle | j \ rangle}e nenhuma perturbação está presente, as amplitudes têm a propriedade conveniente que, para todos os t , c _j ( t ) = 1 e c _n ( t ) = 0 se n ≠ j .

O quadrado da amplitude absoluta c _n ( t ) é a probabilidade de o sistema estar no estado n no tempo t , pois

$${\ displaystyle \ left | c_ {n} (t) \ right | ^ {2} = \ left | \ langle n | \ psi (t) \ rangle \ right | ^ {2} ~.}

Conectando-se à equação de Schrödinger e usando o fato de que ∂ / ∂ t age por uma regra do produto , obtém-se

$${\ displaystyle \ sum _ {n} \ left (i \ hbar {\ frac {\ mathrm {d} c_ {n}} {\ mathrm {d} t}} - c_ {n} (t) V (t) \ direita) e ^ {- iE_ {n} t / \ hbar} | n \ rangle = 0 ~.}

Ao resolver a identidade na frente de V e multiplicar pelo sutiã $${\ displaystyle \ langle n |}à esquerda, isso pode ser reduzido a um conjunto de equações diferenciais acopladas para as amplitudes,

$${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} c_ {n}} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {-i} {\ hbar}} \ sum _ {k} \ langle n | V (t) | k \ rangle \, c_ {k} (t) \, e ^ {- i (E_ {k} -E_ {n}) t / \ hbar} ~.}

onde usamos a equação ( 1 ) para avaliar a soma em n no segundo termo, depois usamos o fato de que$${\ displaystyle \ langle k | \ Psi (t) \ rangle = c_ {k} (t) e ^ {- iE_ {k} t / \ hbar}}.

Os elementos da matriz de V desempenham um papel semelhante ao da teoria de perturbação independente do tempo, sendo proporcional à taxa na qual as amplitudes são deslocadas entre os estados. Observe, no entanto, que a direção da mudança é modificada pelo fator de fase exponencial. Em tempos muito mais longos que a diferença de energia E _k - E _n , a fase gira em torno de 0 várias vezes. Se a dependência de tempo de V for suficientemente lenta, isso poderá fazer com que as amplitudes de estado oscile. (Por exemplo, essas oscilações são úteis para gerenciar transições radiativas em um laser .)

Até o momento, não fizemos aproximações, portanto esse conjunto de equações diferenciais é exato. Ao fornecer valores iniciais apropriados c _n ( t ) , poderíamos, em princípio, encontrar uma solução exata (isto é, não-perturbativa). Isso é feito facilmente quando existem apenas dois níveis de energia ( n = 1, 2) e essa solução é útil para modelar sistemas como a molécula de amônia .

No entanto, é difícil encontrar soluções exatas quando existem muitos níveis de energia e, em vez disso, procura-se soluções perturbadoras. Estes podem ser obtidos expressando as equações de forma integral,

$${\ displaystyle c_ {n} (t) = c_ {n} (0) + {\ frac {-i} {\ hbar}} \ sum _ {k} \ int _ {0} ^ {t} dt '\ ; \ langle n | V (t ') | k \ rangle \, c_ {k} (t') \, e ^ {- i (E_ {k} -E_ {n}) t '/ \ hbar} ~. }

Substituir repetidamente esta expressão por c _{n de} volta para o lado direito, gera uma solução iterativa,

$${\ displaystyle c_ {n} (t) = c_ {n} ^ {(0)} + c_ {n} ^ {(1)} + c_ {n} ^ {(2)} + \ cdots}

onde, por exemplo, o termo de primeira ordem é

$${\ displaystyle c_ {n} ^ {(1)} (t) = {\ frac {-i} {\ hbar}} \ sum _ {k} \ int _ {0} ^ {t} dt '\; \ emaranhado n | V (t ') | k \ rangle \, c_ {k} ^ {(0)} \, e ^ {- i (E_ {k} -E_ {n}) t' / \ hbar} ~. }

Vários outros resultados se seguem, como a regra de ouro de Fermi , que relaciona a taxa de transições entre estados quânticos e a densidade de estados em energias específicas; ou a série Dyson , obtida aplicando o método iterativo ao operador de evolução no tempo , que é um dos pontos de partida para o método dos diagramas de Feynman .

Método da série Dyson [ editar ]

As perturbações dependentes do tempo podem ser reorganizadas através da técnica da série Dyson . A equação de Schrödinger

$${\ displaystyle H (t) | \ psi (t) \ rangle = i \ hbar {\ frac {\ parcial | \ psi (t) \ rangle} {\ parcial t}}}

tem a solução formal

$${\ displaystyle | \ psi (t) \ rangle = T \ exp {\ left [- {\ frac {i} {\ hbar}} \ int _ {t_ {0}} ^ {t} dt'H (t ' ) \ right]} | \ psi (t_ {0}) \ rangle ~,}

onde T é o operador de pedidos no tempo,

{\ displaystyle TA (t_ {1}) A (t_ {2}) = {\ begin {cases} A (t_ {1}) A (t_ {2}) & t_ {1}> t_ {2} \\ A (t_ {2}) A (t_ {1}) & t_ {2}> t_ {1} \ end {cases}} ~.}

Assim, o exponencial representa a seguinte série de Dyson ,

$${\ displaystyle | \ psi (t) \ rangle = \ left [1 - {\ frac {i} {\ hbar}} \ int _ {t_ {0}} ^ {t} dt_ {1} H (t_ {1 }) - {\ frac {1} {\ hbar ^ {2}}} \ int _ {t_ {0}} ^ {t} dt_ {1} \ int _ {t_ {0}} ^ {t_ {1} } dt_ {2} H (t_ {1}) H (t_ {2}) + \ ldots \ right] | \ psi (t_ {0}) \ rangle ~.}

Observe que no segundo período, o 1/2! O fator cancela exatamente a dupla contribuição devido ao operador de pedido de horas, etc.

Considere o seguinte problema de perturbação

$${\ displaystyle [H_ {0} + \ lambda V (t)] | \ psi (t) \ rangle = i \ hbar {\ frac {\ parcial | \ psi (t) \ rangle} {\ parcial t}} ~ ,}

assumindo que o parâmetro λ é pequeno e que o problema$${\ displaystyle H_ {0} | n \ rangle = E_ {n} | n \ rangle} foi resolvido.

Execute a seguinte transformação unitária na figura de interação (ou figura de Dirac),

$${\ displaystyle | \ psi (t) \ rangle = e ^ {- {\ frac {i} {\ hbar}} H_ {0} (t-t_ {0})} | \ psi _ {I} (t) \ rangle ~.}

Consequentemente, a equação de Schrödinger simplifica a

$${\ displaystyle \ lambda e ^ {{\ frac {i} {\ hbar}} H_ {0} (t-t_ {0})} V (t) e ^ {- {\ frac {i} {\ hbar} } H_ {0} (t-t_ {0})} | \ psi _ {I} (t) \ rangle = i \ hbar {\ frac {\ parcial | \ psi _ {I} (t) \ rangle} { \ parcial t}} ~,}

por isso é resolvido através da série Dyson acima ,

$${\ displaystyle | \ psi _ {I} (t) \ rangle = \ left [1 - {\ frac {i \ lambda} {\ hbar}} \ int _ {t_ {0}} ^ {t} dt_ {1 } e ^ {{\ frac {i} {\ hbar}} H_ {0} (t_ {1} -t_ {0})} V (t_ {1}) e ^ {- {\ frac {i} {\ hbar}} H_ {0} (t_ {1} -t_ {0})} - {\ frac {\ lambda ^ {2}} {\ hbar ^ {2}}} \ int _ {t_ {0}} ^ {t} dt_ {1} \ int _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}} dt_ {2} e ^ {{\ frac {i} {\ hbar}} H_ {0} (t_ {1} -t_ {0})} V (t_ {1}) e ^ {- {\ frac {i} {\ hbar}} H_ {0} (t_ {1} -t_ {0})} e ^ {{\ frac {i} {\ hbar}} H_ {0} (t_ {2} -t_ {0})} V (t_ {2}) e ​​^ {- {\ frac {i} {\ hbar}} H_ {0 } (t_ {2} -t_ {0})} + \ ldots \ right] | \ psi (t_ {0}) \ rangle ~,}

como uma série de perturbações com λ pequeno .

Usando a solução do problema imperturbável $${\ displaystyle H_ {0} | n \ rangle = E_ {n} | n \ rangle} e $${\ displaystyle \ sum _ {n} | n \ rangle \ langle n | = 1} (por uma questão de simplicidade, assuma um espectro discreto puro), produz, em primeira ordem,

$${\ displaystyle | \ psi _ {I} (t) \ rangle = \ left [1 - {\ frac {i \ lambda} {\ hbar}} \ sum _ {m} \ sum _ {n} \ int _ { t_ {0}} ^ {t} dt_ {1} \ langle m | V (t_ {1}) | n \ rangle e ^ {- {\ frac {i} {\ hbar}} (E_ {n} -E_ {m}) (t_ {1} -t_ {0})} | m \ rangle \ langle n | + \ ldots \ right] | \ psi (t_ {0}) \ rangle ~.}

Assim, o sistema, inicialmente no estado imperturbável $${\ displaystyle | \ alpha \ rangle = | \ psi (t_ {0}) \ rangle}, por força da perturbação pode entrar no estado $${\ displaystyle | \ beta \ rangle}. A correspondente amplitude de probabilidade de transição para a primeira ordem é

$${\ displaystyle A _ {\ alpha \ beta} = - {\ frac {i \ lambda} {\ hbar}} \ int _ {t_ {0}} ^ {t} dt_ {1} \ langle \ beta | V (t_ {1}) | \ alpha \ rangle e ^ {- {\ frac {i} {\ hbar}} (E _ {\ alpha} -E _ {\ beta}) (t_ {1} -t_ {0})} ~ ,}

conforme detalhado na seção anterior - enquanto a probabilidade de transição correspondente a um continuum é fornecida pela regra de ouro de Fermi .

Como um aparte, observe que a teoria das perturbações independente do tempo também é organizada dentro dessa série de Dyson da teoria das perturbações dependente do tempo. Para ver isso, escreva o operador de evolução unitária, obtido da série Dyson acima , como

$${\ displaystyle U (t) = 1 - {\ frac {i \ lambda} {\ hbar}} \ int _ {t_ {0}} ^ {t} dt_ {1} e ^ {{\ frac {i} { \ hbar}} H_ {0} (t_ {1} -t_ {0})} V (t_ {1}) e ^ {- {\ frac {i} {\ hbar}} H_ {0} (t_ {1 } -t_ {0})} - {\ frac {\ lambda ^ {2}} {\ hbar ^ {2}}} \ int _ {t_ {0}} ^ {t} dt_ {1} \ int _ { t_ {0}} ^ {t_ {1}} dt_ {2} e ^ {{\ frac {i} {\ hbar}} H_ {0} (t_ {1} -t_ {0})} V (t_ { 1}) e ^ {- {\ frac {i} {\ hbar}} H_ {0} (t_ {1} -t_ {0})} e ^ {{\ frac {i} {\ hbar}} H_ { 0} (t_ {2} -t_ {0})} V (t_ {2}) e ​​^ {- {\ frac {i} {\ hbar}} H_ {0} (t_ {2} -t_ {0} )} + \ cdots}

e considere a perturbação V independente do tempo.

Usando a resolução de identidade

$${\ displaystyle \ sum _ {n} | n \ rangle \ langle n | = 1}

com $${\ displaystyle H_ {0} | n \ rangle = E_ {n} | n \ rangle} para um espectro discreto puro, escreva

{\ displaystyle {\ begin {alinhado} U (t) = 1 & - \ left \ {{\ frac {i \ lambda} {\ hbar}} \ int _ {t_ {0}} ^ {t} dt_ {1} \ sum _ {m} \ sum _ {n} \ langle m | V | n \ rangle e ^ {- {\ frac {i} {\ hbar}} (E_ {n} -E_ {m}) (t_ { 1} -t_ {0})} | m \ rangle \ langle n | \ right \} \\ & - \ left \ {{\ frac {\ lambda ^ {2}} {\ hbar ^ {2}}} \ int _ {t_ {0}} ^ {t} dt_ {1} \ int _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}} dt_ {2} \ sum _ {m} \ sum _ {n} \ sum _ {q} e ^ {- {\ frac {i} {\ hbar}} (E_ {n} -E_ {m}) (t_ {1} -t_ {0})} \ emaranhado m | V | n \ rangle \ langle n | V | q \ rangle e ^ {- {\ frac {i} {\ hbar}} (E_ {q} -E_ {n}) (t_ {2} -t_ {0})} | m \ rangle \ langle q | \ right \} + \ cdots \ end {alinhado}}}

É evidente que, em segunda ordem, é preciso somar todos os estados intermediários. Presumir$${\ displaystyle t_ {0} = 0}e o limite assintótico de tempos maiores. Isso significa que, a cada contribuição da série de perturbações, é necessário adicionar um fator multiplicativo$${\ displaystyle e ^ {- \ epsilon t}}nos integrandos para ε arbitrariamente pequeno. Assim, o limite t → ∞ devolve o estado final do sistema, eliminando todos os termos oscilantes, mas mantendo os seculares. As integrais são assim computáveis ​​e, separando os termos diagonais dos outros, obtém-se

{\ displaystyle {\ begin {alinhado} U (t) = 1 & - {\ frac {i \ lambda} {\ hbar}} \ sum _ {n} \ langle n | V | n \ rangle t - {\ frac { i \ lambda ^ {2}} {\ hbar}} \ sum _ {m \ neq n} {\ frac {\ langle n | V | m \ rangle \ langle m | V | n \ rangle} {E_ {n} -E_ {m}}} t - {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ lambda ^ {2}} {\ hbar ^ {2}}} \ sum _ {m, n} \ langle n | V | m \ rangle \ langle m | V | n \ rangle t ^ {2} + \ ldots \\ & + \ lambda \ sum _ {m \ neq n} {\ frac {\ langle m | V | n \ rangle} {E_ {n} -E_ {m}}} | m \ rangle \ langle n | + \ lambda ^ {2} \ sum _ {m \ neq n} \ sum _ {q \ neq n} \ sum _ {n} {\ frac {\ langle m | V | n \ rangle \ langle n | V | q \ rangle} {(E_ {n} -E_ {m}) (E_ {q} -E_ {n})} } | m \ rangle \ langle q | + \ ldots \ end {aligned}}}

onde a série temporal secular produz os valores próprios do problema perturbado especificado acima, recursivamente; Considerando que a parte constante no tempo restante produz as correções nas autofunções estacionárias também fornecidas acima ($${\ displaystyle | n (\ lambda) \ rangle = U (0; \ lambda) | n \ rangle)}.)

O operador de evolução unitária é aplicável a autenticações arbitrárias do problema imperturbável e, nesse caso, produz uma série secular que se mantém em pequenos momentos.

Teoria de perturbação forte [ editar ]

De maneira semelhante a pequenas perturbações, é possível desenvolver uma forte teoria de perturbações. Considere como de costume a equação de Schrödinger

$${\ displaystyle H (t) | \ psi (t) \ rangle = i \ hbar {\ frac {\ parcial | \ psi (t) \ rangle} {\ parcial t}}}

e consideramos a questão de saber se existe uma série dupla de Dyson que se aplica no limite de uma perturbação cada vez maior. Esta questão pode ser respondida de forma afirmativa ^[11] e a série é a conhecida série adiabática. ^[12] Essa abordagem é bastante geral e pode ser mostrada da seguinte maneira. Considere o problema de perturbação

$${\ displaystyle [H_ {0} + \ lambda V (t)] | \ psi (t) \ rangle = i \ hbar {\ frac {\ parcial | \ psi (t) \ rangle} {\ parcial t}}}

sendo λ → ∞ . Nosso objetivo é encontrar uma solução na forma

$${\ displaystyle | \ psi \ rangle = | \ psi _ {0} \ rangle + {\ frac {1} {\ lambda}} | \ psi _ {1} \ rangle + {\ frac {1} {\ lambda ^ {2}}} | \ psi _ {2} \ rangle + \ ldots}

mas uma substituição direta na equação acima falha em produzir resultados úteis. Essa situação pode ser ajustada, fazendo um redimensionamento da variável de tempo, conforme$${\ displaystyle \ tau = \ lambda t} produzindo as seguintes equações significativas

$${\ displaystyle V (t) | \ psi _ {0} \ rangle = i \ hbar {\ frac {\ parcial | \ psi _ {0} \ rangle} {\ parcial \ tau}}}

$${\ displaystyle V (t) | \ psi _ {1} \ rangle + H_ {0} | \ psi _ {0} \ rangle = i \ hbar {\ frac {\ parcial | \ psi _ {1} \ rangle} {\ parcial \ tau}}}

$${\ displaystyle \ vdots}

isso pode ser resolvido quando soubermos a solução da equação da ordem principal . Mas sabemos que, neste caso, podemos usar a aproximação adiabática . Quando$${\ displaystyle V (t)}não depende do tempo que se obtém a série Wigner-Kirkwood, que é freqüentemente usada em mecânica estatística . De fato, neste caso, introduzimos a transformação unitária

$${\ displaystyle | \ psi (t) \ rangle = e ^ {- {\ frac {i} {\ hbar}} \ lambda V (t-t_ {0})} | \ psi _ {F} (t) \ rangle}

que define uma imagem livre enquanto tentamos eliminar o termo de interação. Agora, de maneira dupla em relação às pequenas perturbações, temos que resolver a equação de Schrödinger

$${\ displaystyle e ^ {{frac {i} {\ hbar}} \ lambda V (t-t_ {0})} H_ {0} e ^ {- {\ frac {i} {\ hbar}} \ lambda V (t-t_ {0})} | \ psi _ {F} (t) \ rangle = i \ hbar {\ frac {\ parcial | \ psi _ {F} (t) \ rangle} {\ parcial t} }}

e vemos que o parâmetro de expansão λ aparece apenas no exponencial e, portanto, a série Dyson correspondente , uma série Dyson dupla , é significativa em geral λ se é

$${\ displaystyle | \ psi _ {F} (t) \ rangle = \ left [1 - {\ frac {i} {\ hbar}} \ int _ {t_ {0}} ^ {t} dt_ {1} e ^ {{\ frac {i} {\ hbar}} \ lambda V (t_ {1} -t_ {0})} H_ {0} e ^ {- {\ frac {i} {\ hbar}} \ lambda V (t_ {1} -t_ {0})} - {\ frac {1} {\ hbar ^ {2}}} \ int _ {t_ {0}} ^ {t} dt_ {1} \ int _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}} dt_ {2} e ^ {{\ frac {i} {\ hbar}} \ lambda V (t_ {1} -t_ {0})} H_ {0} e ^ {- {\ frac {i} {\ hbar}} \ lambda V (t_ {1} -t_ {0})} e ^ {{\ frac {i} {\ hbar}} \ lambda V (t_ {2} -t_ {0})} H_ {0} e ^ {- {\ frac {i} {\ hbar}} \ lambda V (t_ {2} -t_ {0})} + \ ldots \ right] | \ psi (t_ {0}) \ rangle.}

Após o reescalonamento no tempo $${\ displaystyle \ tau = \ lambda t} podemos ver que esta é realmente uma série em $${\ displaystyle 1 / \ lambda}justificando assim o nome da dupla série Dyson . O motivo é que obtivemos essa série simplesmente trocando H ₀ e V e podemos ir de um para outro aplicando essa troca. Isso é chamado de princípio da dualidade na teoria das perturbações. A escolha$${\ displaystyle H_ {0} = p ^ {2} / 2m}produz, como já foi dito, uma série Wigner-Kirkwood que é uma expansão gradiente. A série Wigner-Kirkwood é uma série semi-clássica com valores próprios dados exatamente como para a aproximação WKB . ^[13]

Exemplos [ editar ]

Exemplo da teoria de perturbação de primeira ordem - energia no estado fundamental do oscilador quártico [ editar ]

Considere o oscilador harmônico quântico com a perturbação do potencial quático e o valor Hamiltoniano

$${\ displaystyle H = - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} {\ frac {\ parcial ^ {2}} {\ parcial x ^ {2}}} + {\ frac {m \ omega ^ {2} x ^ {2}} {2}} + \ lambda x ^ {4}}

O estado fundamental do oscilador harmônico é

$${\ displaystyle \ psi _ {0} = \ left ({\ frac {\ alpha} {\ pi}} \ right) ^ {\ frac {1} {4}} e ^ {- \ alpha x ^ {2} / 2}}

($${\ displaystyle \ alpha = m \ ômega / \ hbar}) e a energia do estado fundamental não perturbado é

$${\ displaystyle E_ {0} ^ {(0)} = {\ tfrac {1} {2}} \ hbar \ omega. \,}

Usando a fórmula de correção de primeira ordem, obtemos

$${\ displaystyle E_ {0} ^ {(1)} = \ lambda \ left ({\ frac {\ alpha} {\ pi}} \ right) ^ {\ frac {1} {2}} \ int e ^ { - \ alpha x ^ {2} / 2} x ^ {4} e ^ {- \ alpha x ^ {2} / 2} dx = \ lambda \ left ({\ frac {\ alpha} {\ pi}} \ direita) ^ {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ parcial ^ {2}} {\ parcial \ alfa ^ {2}}} \ int e ^ {- \ alpha x ^ {2}} dx }

ou

$${\ displaystyle E_ {0} ^ {(1)} = \ lambda \ left ({\ frac {\ alpha} {\ pi}} \ right) ^ {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ parcial ^ {2}} {\ parcial \ alfa ^ {2}}} \ esquerda ({\ frac {\ pi} {\ alpha}} \ direita) ^ {\ frac {1} {2}} = \ lambda { \ frac {3} {4}} {\ frac {1} {\ alpha ^ {2}}} = {\ frac {3} {4}} {\ frac {\ hbar ^ {2} \ lambda} {m ^ {2} \ ômega ^ {2}}}}

Exemplo da teoria da perturbação de primeira e segunda ordem - pêndulo quântico [ editar ]

Considere o pêndulo matemático quântico com o método Hamiltoniano

$${\ displaystyle H = - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2ma ^ {2}}} {\ frac {\ parcial ^ {2}} {\ parcial \ phi ^ {2}}} - \ lambda \ cos \ phi}

com a energia potencial $${\ displaystyle - \ lambda \ cos \ phi} tomado como a perturbação ou seja

$${\ displaystyle V = - \ cos \ phi}

As funções normalizadas de ondas quânticas normalizadas são as do rotor rígido e são dadas por

$${\ displaystyle \ psi _ {n} (\ phi) = {\ frac {e ^ {in \ phi}} {\ sqrt {2 \ pi}}}}

e as energias

$${\ displaystyle E_ {n} ^ {(0)} = {\ frac {\ hbar ^ {2} n ^ {2}} {2ma ^ {2}}}}

A correção de energia de primeira ordem no rotor devido à energia potencial é

$${\ displaystyle E_ {n} ^ {(1)} = - {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int e ^ {- in \ phi} \ cos \ phi e ^ {in \ phi} = - {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int \ cos \ phi = 0}

Usando a fórmula para a correção de segunda ordem, obtém-se

$${\ displaystyle E_ {n} ^ {(2)} = {\ frac {ma ^ {2}} {2 \ pi ^ {2} \ hbar ^ {2}}} \ sum _ {k} {\ frac { \ left | \ int e ^ {- ik \ phi} \ cos \ phi e ^ {in \ phi} \ right | ^ {2}} {n ^ {2} -k ^ {2}}}}

ou

$${\ displaystyle E_ {n} ^ {(2)} = {\ frac {ma ^ {2}} {2 \ hbar ^ {2}}} \ sum _ {k} {\ frac {\ left | \ left ( \ delta _ {n, 1-k} + \ delta _ {n, -1-k} \ right) \ right | ^ {2}} {n ^ {2} -k ^ {2}}}}

ou

$${\ displaystyle E_ {n} ^ {(2)} = {\ frac {ma ^ {2}} {2 \ hbar ^ {2}}} \ left ({\ frac {1} {2n-1}} + {\ frac {1} {- 2n-1}} \ right) = {\ frac {ma ^ {2}} {\ hbar ^ {2}}} {\ frac {1} {4n ^ {2} -1 }}}

Na 

Geral [ editar ]

Embora tenha o nome de Enrico Fermi , a maior parte do trabalho que leva à "regra de ouro" é devida a Paul Dirac , que formulou 20 anos antes uma equação praticamente idêntica, incluindo os três componentes de uma constante, o elemento matricial da perturbação e uma energia diferença. ^[1] [2] Foi dado esse nome porque, devido à sua importância, Fermi o chamou de "regra de ouro nº 2". ^[3]

A maioria dos usos do termo regra de ouro de Fermi refere-se à "regra de ouro n. 2", no entanto, a "regra de ouro n. 1 de Fermi" é de forma semelhante e considera a probabilidade de transições indiretas por unidade de tempo. ^[4]

A taxa e sua derivação [ editar ]

A regra de ouro de Fermi descreve um sistema que começa em um estado autônomo $${\ displaystyle | i \ rangle}de um Hamiltoniano H ₀ imperturbável e considera o efeito de um Hamiltoniano H ' perturbador aplicado ao sistema. Se H ' é independente do tempo, o sistema entra apenas nos estados do continuum que possuem a mesma energia que o estado inicial. Se H ' está oscilando sinusoidalmente em função do tempo (ou seja, é uma perturbação harmônica) com uma frequência angular ω , a transição é para estados com energias que diferem ħω da energia do estado inicial.

Nos dois casos, a probabilidade de transição por unidade de tempo do estado inicial$${\ displaystyle | i \ rangle} para um conjunto de estados finais $${\ displaystyle | f \ rangle}é essencialmente constante. É dada, para aproximação de primeira ordem, por

$${\ displaystyle \ Gamma _ {i \ to f} = {\ frac {2 \ pi} {\ hbar}} \ left | \ langle f | H '| i \ rangle \ right | ^ {2} \ rho (E_ {f})}

Onde $${\ displaystyle \ langle f | H '| i \ rangle}é o elemento da matriz (na notação braquete ) da perturbação H ' entre os estados final e inicial, e$${\ displaystyle \ rho (E_ {f.})}é a densidade dos estados (número de estados contínuos dividido por$${\ displaystyle dE} no intervalo de energia infinitesimalmente pequeno $${\ displaystyle E} para $${\ displaystyle E + dE}) na energia $${\ displaystyle E_ {f.}}dos estados finais. Essa probabilidade de transição também é chamada de "probabilidade de decaimento" e está relacionada ao inverso da vida útil média . Assim, a probabilidade de encontrar o sistema em estado$${\ displaystyle | f \ rangle} é proporcional a $${\ displaystyle e ^ {- \ Gamma _ {i \ to f} t}}.

A maneira padrão de derivar a equação é começar com a teoria de perturbação dependente do tempo e assumir o limite de absorção sob a suposição de que o tempo da medição é muito maior que o tempo necessário para a transição. ^[5] [6]

Derivação na teoria das perturbações dependentes do tempo

Somente a magnitude do elemento da matriz $${\ displaystyle \ langle f | H '| i \ rangle}entra na regra de ouro dos Fermi. A fase deste elemento da matriz, no entanto, contém informações separadas sobre o processo de transição. Aparece em expressões que complementam a regra de ouro na abordagem semiclássica da equação de Boltzmann ao transporte de elétrons. ^[8]

Enquanto a regra de ouro é comumente declarada e derivada nos termos acima, a função de onda do estado final (continuum) é frequentemente vagamente descrita e não é normalizada corretamente (e a normalização é usada na derivação). O problema é que, para produzir um continuum, não pode haver confinamento espacial (o que necessariamente discretizaria o espectro) e, portanto, as funções de ondas contínuas devem ter extensão infinita e, por sua vez, isso significa que a normalização$${\ displaystyle \ langle f | f \ rangle = \ int d ^ {3} r | f (\ mathbf {r}) | ^ {2}}é infinito, não unidade. Se as interações dependem da energia do estado contínuo, mas não de outros números quânticos, é normal normalizar as funções das ondas contínuas com energia$${\ displaystyle \ epsilon} rotulado $${\ displaystyle | \ epsilon \ rangle}, por escrito $${\ displaystyle \ langle \ epsilon | \ epsilon '\ rangle = \ delta (\ epsilon - \ epsilon')} Onde $${\ displaystyle \ delta}é a função delta do Dirac e, efetivamente, um fator da raiz quadrada da densidade dos estados é incluído no$${\ displaystyle | \ epsilon _ {i} \ rangle} ^[9] . Nesse caso, a função de onda contínua possui dimensões de$${\ displaystyle 1 / \ surd}[energia], e a Regra de Ouro é agora

$${\ displaystyle \ Gamma _ {i \ to \ epsilon _ {i}} = {\ frac {2 \ pi} {\ hbar}} | \ langle \ epsilon _ {i} | H '| i \ rangle | ^ { 2}.}

Onde $${\ displaystyle \ epsilon _ {i}} refere-se ao estado contínuo com a mesma energia que o estado discreto $${\ displaystyle i}. Por exemplo, funções de onda contínua normalizadas corretamente para o caso de um elétron livre nas proximidades de um átomo de hidrogênio estão disponíveis em Bethe e Salpeter ^[10] .

Derivação normalizada na teoria das perturbações dependentes do tempo

Aplicações [ editar ]

Semiconductors [ editar ]

A regra de ouro de Fermi pode ser usada para calcular a taxa de probabilidade de transição de um elétron que é excitado por um fóton da banda de valência para a banda de condução em um semicondutor de gap de banda direto e também para quando o elétron se recombina com o buraco e emite um fóton. ^[11] Considere um fóton de frequência$${\ displaystyle \ omega} e wavevector $${\ displaystyle {\ textbf {q}}}, onde a relação de dispersão da luz é $${\ displaystyle \ omega = (c / n) \ left | {\ textbf {q}} \ right |} e $${\ displaystyle n} é o índice de refração.

Usando o medidor Coulomb onde $${\ displaystyle \ nabla \ cdot {\ textbf {A}} = 0} e $${\ displaystyle V = 0}, o potencial vetorial da onda EM é dado por $${\ displaystyle {\ textbf {A}} = A_ {0} {\ vec {\ epsilon}} e ^ {i ({\ textbf {q}} \ cdot {\ textbf {r}} - \ omega t)} + C} onde o campo elétrico resultante é

$${\ displaystyle {\ textbf {E}} = - \ parcial {\ textbf {A}} / \ parcial t = i \ ômega A_ {0} {\ vec {\ epsilon}} e ^ {i ({\ textbf { q}} \ cdot {\ textbf {r}} - \ omega t)}}

Para uma partícula carregada na banda de valência, o Hamiltoniano é

$${\ displaystyle H = {\ frac {({\ textbf {p}} - Q {\ textbf {A}}) ^ {2}} {2m_ {0}}} + V ({\ textbf {r}}) }

Onde $${\ displaystyle V ({\ textbf {r}})}é o potencial do cristal. Se nossa partícula é um elétron ($${\ displaystyle Q = -e}) e consideramos o processo envolvendo um fóton e primeira ordem em $${\ displaystyle {\ textbf {A}}}. O Hamiltoniano resultante é

$${\ displaystyle H = H_ {0} + H '= \ left [{\ frac {{\ textbf {p}} ^ {2}} {2m_ {0}}} + V ({\ textbf {r}}) \ right] + \ left [{\ frac {e} {2m_ {0}}} ({\ textbf {p}} \ cdot {\ textbf {A}} + {\ textbf {A}} \ cdot {\ textbf {p}}) \ right]}

Onde $${\ displaystyle H '} é a perturbação da onda EM.

Daqui em diante, temos probabilidade de transição com base na teoria de perturbação dependente do tempo que

$${\ displaystyle \ Gamma _ {if} = {\ frac {2 \ pi} {\ hbar}} | \ langle f | H '| i \ rangle | ^ {2} \ delta (E_ {f} -E_ {i } \ pm \ hbar \ omega)}

$${\ displaystyle H '\ approx {\ frac {eA_ {0}} {m_ {0}}} {\ vec {\ epsilon}} \ cdot {\ vec {p}}}

Onde $${\ displaystyle {\ vec {\ epsilon}}}é o vetor de polarização da luz. Por perturbação, é evidente que o coração do cálculo está nos elementos da matriz mostrados no braket.

Para os estados inicial e final nas faixas de valência e condução, respectivamente, temos $${\ displaystyle | i \ rangle = \ Psi _ {v, {\ textbf {k}} _ {i}, s_ {i}} ({\ textbf {r}})} e $${\ displaystyle | f \ rangle = \ Psi _ {c, {\ textbf {k}} _ {f}, s_ {f}} ({\ textbf {r}})}e se o $${\ displaystyle H '}O operador não agir sobre a rotação, as estadias de elétrons no mesmo estado de spin e, portanto, podemos escrever as funções de onda como ondas de Bloch assim

$${\ displaystyle \ Psi _ {v, {\ textbf {k}} _ {i}} ({\ textbf {r}}) = {\ frac {1} {\ sqrt {N \ Omega _ {0}}} } u_ {n_ {v}, {\ textbf {k}} _ {i}} ({\ textbf {r}}) e ^ {i {\ textbf {k}} _ {i} \ cdot {\ textbf { r}}}}

$${\ displaystyle \ Psi _ {c, {\ textbf {k}} _ {f}} ({\ textbf {r}}) = {\ frac {1} {\ sqrt {N \ Omega _ {0}}} } u_ {n_ {c}, {\ textbf {k}} _ {f}} ({\ textbf {r}}) e ^ {i {\ textbf {k}} _ {f} \ cdot {\ textbf { r}}}}

Onde $${\ displaystyle N} é o número de células unitárias com volume $${\ displaystyle \ Omega _ {0}}. Usando essas funções de onda e com um pouco mais de matemática, e focando a emissão ( fotoluminescência ) em vez da absorção, somos levados à taxa de transição

$${\ displaystyle \ Gamma _ {cv} = {\ frac {2 \ pi} {\ hbar}} \ left ({\ frac {eA_ {0}} {m_ {0}}} \ right) ^ {2} | {\ vec {\ epsilon}} \ cdot {\ boldsymbol {\ mu}} _ {cv} ({\ textbf {k}}) | ^ {2} \ delta (E_ {c} -E_ {v} - \ hbar \ omega)}

Onde $${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ mu}} _ {cv}}é o elemento da matriz de momento dipolar de transição é qualitativamente o valor esperado$${\ displaystyle \ langle c | ({\ text {charge}}) \ times ({\ text {distance}}) | v \ rangle} e nesta situação assume a forma

$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ mu}} _ {cv} = - {\ frac {i \ hbar} {\ Omega _ {0}}} \ int _ {\ Omega _ {0}} d {\ textbf { r}} 'u_ {n_ {c}, {\ textbf {k}}} ^ {*} ({\ textbf {r}}') \ nabla u_ {n_ {v}, {\ textbf {k}}} ({\ textbf {r}} ')}

Finalmente, queremos saber a taxa total de transição $${\ displaystyle \ Gamma (\ omega)}. Portanto, precisamos somar todos os estados iniciais e finais (isto é, uma integral da zona de Brillouin no espaço k ) e levar em consideração a degenerescência do spin, que através de algumas matemáticas resulta em

$${\ displaystyle \ Gamma (\ omega) = {\ frac {4 \ pi} {\ hbar}} \ left ({\ frac {eA_ {0}} {m_ {0}}} \ right) ^ {2} | {\ vec {\ epsilon}} \ cdot {\ boldsymbol {\ mu}} _ {cv} | ^ {2} \ rho _ {cv} (\ omega)}

Onde $${\ displaystyle \ rho _ {cv} (\ omega)}é a densidade conjunta de valência-condução dos estados (isto é, a densidade do par de estados; um estado de valência ocupado, um estado de condução vazio). Em 3D, isso é

$${\ displaystyle \ rho _ {cv} (\ omega) = 2 \ pi \ left ({\ frac {2m ^ {*}} {\ hbar ^ {2}}} \ right) ^ {3/2} {\ sqrt {\ hbar \ omega -E_ {g}}}}}

mas o DOS conjunto é diferente para 2D, 1D e 0D.

Finalmente, notamos que, de uma maneira geral, podemos expressar a regra de ouro de Fermi para semicondutores como ^[12]

$${\ displaystyle \ Gamma _ {vc} = {\ frac {2 \ pi} {\ hbar}} \ int _ {\ text {BZ}} {\ frac {d {\ textbf {k}}} {4 \ pi ^ {3}}} | H_ {vc} '| ^ {2} \ delta (E_ {c} ({\ textbf {k}}) - E_ {v} ({\ textbf {k}}) - \ hbar \ omega)}

Microscopia de tunelamento [ editar ]

Artigo principal: Microscópio de varredura de tunelamento § Princípio de operação

Em um microscópio de varredura de tunelamento , a regra de ouro Fermi é usada na derivação da corrente de tunelamento. Toma a forma

$${\ displaystyle w = {\ frac {2 \ pi} {\ hbar}} | M | ^ {2} \ delta (E _ {\ psi} -E _ {\ chi})}

Onde $${\ displaystyle M} é o elemento da matriz de encapsulamento.

Óptica Quântica [ editar ]

Ao considerar as transições de nível de energia entre dois estados distintos, a regra de ouro de Fermi é escrita como

$${\ displaystyle \ Gamma _ {i \ to f} = {\ frac {2 \ pi} {\ hbar}} | \ langle f | H '| i \ rangle | ^ {2} g (\ hbar \ omega), }

Onde $${\ displaystyle g (\ hbar \ omega)} é a densidade dos estados de fótons em uma determinada energia, $${\ displaystyle \ hbar \ omega}é a energia do fóton , e$${\ displaystyle \ omega}é a frequência angular . Essa expressão alternativa baseia-se no fato de que há um continuum de estados finais (fóton), ou seja, a faixa de energias permitidas do fóton é contínua. ^[13]

Experiência de Drexhage [ editar ]

Tanto o padrão de radiação quanto a potência total emitida (que é proporcional à taxa de decaimento) de um dipolo dependem de sua distância de um espelho.

A regra de ouro de Fermi prevê que a probabilidade de um estado excitado decair depende da densidade dos estados. Isso pode ser visto experimentalmente medindo a taxa de decaimento de um dipolo perto de um espelho: como a presença do espelho cria regiões com maior e menor densidade de estados, a taxa de decaimento medida depende da distância entre o espelho e o dipolo. ^[14] [15]

Veja também 

O decaimento de partículas é o processo espontâneo de uma partícula subatômica instável que se transforma em várias outras partículas. As partículas criadas neste processo (o estado final ) devem ser cada vez menos massivas que o original, embora a massa invariante total do sistema deva ser conservada. Uma partícula é instável se houver pelo menos um estado final permitido no qual possa entrar em decomposição. As partículas instáveis ​​geralmente têm várias maneiras de decair, cada uma com sua própria probabilidade associada . Os decaimentos são mediados por uma ou várias forças fundamentais . As partículas no estado final podem ser instáveis ​​e sujeitas a deterioração adicional.

O termo é tipicamente distinto de decaimento radioativo , no qual um núcleo atômico instável é transformado em um núcleo mais leve, acompanhado pela emissão de partículas ou radiação, embora os dois sejam conceitualmente semelhantes e geralmente sejam descritos usando a mesma terminologia.

Probabilidade de sobrevivência e tempo de vida de partícula [ editar ]

O decaimento de partículas é um processo de Poisson e, portanto, a probabilidade de uma partícula sobreviver pelo tempo t antes da decadência é dada por uma distribuição exponencial cuja constante de tempo depende da velocidade da partícula:

$${\ displaystyle P (t) = e ^ {- t / (\ gamma \ tau)} \,}

Onde

$${\ displaystyle \ tau} é a vida útil média da partícula (quando em repouso) e

$${\ displaystyle \ gamma = {\ frac {1} {\ sqrt {1-v ^ {2} / c ^ {2}}}}}}é o fator de Lorentz da partícula.

Tabela de vida útil de algumas partículas elementares e compostas [ editar ]

Todos os dados são do Particle Data Group .

Tipo	Nome	Símbolo	Massa ( MeV )	Vida média
Lepton	Electrão / Positrão	$${\ displaystyle \ mathrm {e} ^ {-} \, / \, \ mathrm {e} ^ {+}}	0,511	{\ displaystyle> 4,6 \ times 10 ^ {26} \ \ mathrm {years} \,}
	Muon / antimuão	$${\ displaystyle \ mathrm {\ mu} ^ {-} \, / \, \ mathrm {\ mu} ^ {+}}	105,7	$${\ displaystyle 2,2 \ times 10 ^ {- 6} \ \ mathrm {seconds} \,}
	Tau lepton / Antitau	$${\ displaystyle \ mathrm {\ tau} ^ {-} \, / \, \ mathrm {\ tau} ^ {+}}	1777	$${\ displaystyle 2,9 \ times 10 ^ {- 13} \ \ mathrm {segundos} \,}
Méson	Pion Neutro	$${\ displaystyle \ mathrm {\ pi} ^ {0} \,}	135	$${\ displaystyle 8.4 \ times 10 ^ {- 17} \ \ mathrm {segundos} \,}
	Pion cobrado	$${\ displaystyle \ mathrm {\ pi} ^ {+} \, / \, \ mathrm {\ pi} ^ {-}}	139,6	$${\ displaystyle 2,6 \ times 10 ^ {- 8} \ \ mathrm {segundos} \,}
Baryon	Proton / Antiproton	$${\ displaystyle \ mathrm {p} ^ {+} \, / \, \ mathrm {p} ^ {-}}	938,2	{\ displaystyle> 10 ^ {29} \ \ mathrm {years} \,}
	Neutron / Antineutron	$${\ displaystyle \ mathrm {n} \, / \, \ mathrm {\ bar {n}}}	939,6	$${\ displaystyle 885,7 \ \ mathrm {segundos} \,}
Boson	W boson	$${\ displaystyle \ mathrm {W} ^ {+} \, / \, \ mathrm {W} ^ {-}}	80400	$${\ displaystyle 10 ^ {- 25} \ \ mathrm {segundos} \,}
	Z boson	$${\ displaystyle \ mathrm {Z} ^ {0} \,}	91000	$${\ displaystyle 10 ^ {- 25} \ \ mathrm {segundos} \,}

Taxa de decaimento [ editar ]

Esta seção usa unidades naturais , onde$${\ displaystyle c = \ hbar = 1. \,}

A vida útil de uma partícula é dada pelo inverso de sua taxa de decaimento, $${\ displaystyle \ Gamma}, a probabilidade por unidade de tempo que a partícula decairá. Para uma partícula de massa M e P de quatro momentos que se decompõe em partículas com momento$${\ displaystyle p_ {i}}, a taxa de decaimento diferencial é dada pela fórmula geral (que expressa a regra de ouro de Fermi )

$${\ displaystyle d \ Gamma _ {n} = {\ frac {S \ left | {\ mathcal {M}} \ right | ^ {2}} {2M}} d \ Phi _ {n} (P; p_ { 1}, p_ {2}, \ pontos, p_ {n}) \,}

Onde

n é o número de partículas criadas pela deterioração do original,

S é um fator combinatório para explicar estados finais indistinguíveis (veja abaixo),

$${\ displaystyle {\ mathcal {M}} \,}é o elemento ou amplitude invariante da matriz que conecta o estado inicial ao estado final (geralmente calculado usando os diagramas de Feynman ),

$${\ displaystyle d \ Phi _ {n} \,}é um elemento do espaço de fase e

$${\ displaystyle p_ {i} \,}é o momento quatro da partícula i .

O fator S é dado por

$${\ displaystyle S = \ prod _ {j = 1} ^ {m} {\ frac {1} {k_ {j}!}}} \,}

Onde

m é o número de conjuntos de partículas indistinguíveis no estado final e

$${\ displaystyle k_ {j} \,}é o número de partículas do tipo j , para que$${\ displaystyle \ sum _ {j = 1} ^ {m} k_ {j} = n \,}.

O espaço de fase pode ser determinado a partir de

$${\ displaystyle d \ Phi _ {n} (P; p_ {1}, p_ {2}, \ pontos, p_ {n}) = (2 \ pi) ^ {4} \ delta ^ {4} \ left ( P- \ soma _ {i = 1} ^ {n} p_ {i} \ direita) \ prod _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {d ^ {3} {\ vec {p}} _ {i}} {2 (2 \ pi) ^ {3} E_ {i}}}}

Onde

$${\ displaystyle \ delta ^ {4} \,}é uma função delta Dirac quadridimensional ,

$${\ displaystyle {\ vec {p}} _ {i} \,}é o (três) momento da partícula i , e

$${\ displaystyle E_ {i} \,}é a energia da partícula i .

Pode-se integrar sobre o espaço de fase para obter a taxa total de decaimento para o estado final especificado.

Se uma partícula possui vários ramos de decaimento ou modos com diferentes estados finais, sua taxa de decaimento total é obtida pela soma das taxas de decaimento de todos os ramos. A taxa de ramificação para cada modo é dada por sua taxa de decaimento dividida pela taxa de decaimento total.

Two-corpo decadência [ editar ]

Esta seção usa unidades naturais , onde$${\ displaystyle c = \ hbar = 1. \,}

No quadro do centro do momento , o decaimento de uma partícula em duas partículas de massa iguais resulta na emissão de um ângulo de 180 ° entre elas.

... enquanto na estrutura de laboratório, a partícula pai provavelmente está se movendo a uma velocidade próxima à velocidade da luz, de modo que as duas partículas emitidas saiam em ângulos diferentes daqueles no centro da estrutura de momento.

Taxa de decaimento [ editar ]

Digamos que uma partícula mãe de massa M decaia em duas partículas, rotuladas 1 e 2 . No restante do quadro da partícula pai,

$${\ displaystyle | {\ vec {p}} _ {1} | = | {\ vec {p}} _ {2} | = {\ frac {[(M ^ {2} - (m_ {1} + m_ {2}) ^ {2}) (M ^ {2} - (m_ {1} -m_ {2}) ^ {2})] ^ {1/2}} {2M}}, \,}

que é obtido exigindo que o momento quatro seja conservado no decaimento, ou seja,

$${\ displaystyle (M, {\ vec {0}}) = (E_ {1}, {\ vec {p}} _ {1}) + (E_ {2}, {\ vec {p}} _ {2 }). \,}

Além disso, em coordenadas esféricas,

$${\ displaystyle d ^ {3} {\ vec {p}} = | {\ vec {p}} \, | ^ {2} \, d | {\ vec {p}} \, | \, d \ phi \, d \ esquerda (\ cos \ theta \ right). \,}

Usando a função delta para executar o $${\ displaystyle d ^ {3} {\ vec {p}} _ {2}} e $${\ displaystyle d | {\ vec {p}} _ {1} | \,} integrais no espaço de fase para um estado final de dois corpos, verifica-se que a taxa de decaimento no quadro de resto da partícula-mãe é

$${\ displaystyle d \ Gamma = {\ frac {\ left | {\ mathcal {M}} \ right | ^ {2}} {32 \ pi ^ {2}}} {\ frac {| {\ vec {p} } _ {1} |} {M ^ {2}}} \, d \ phi _ {1} \, d \ left (\ cos \ theta _ {1} \ right). \,}

De dois quadros diferentes [ editar ]

O ângulo de uma partícula emitida na estrutura do laboratório está relacionado ao ângulo emitido no centro da estrutura do momento pela equação

$${\ displaystyle \ tan {\ theta '} = {\ frac {\ sin {\ theta}} {\ gamma \ left (\ beta / \ beta' + \ cos {\ theta} \ right)}}}

Massa complexa e taxa de decaimento [ editar ]

Mais informações: Ressonância § Ressonância atômica, de partículas e molecular ; e ressonância (física de partículas)

Esta seção usa unidades naturais , onde$${\ displaystyle c = \ hbar = 1. \,}

A massa de uma partícula instável é formalmente um número complexo , com a parte real sendo sua massa no sentido usual e a parte imaginária sendo sua taxa de decaimento em unidades naturais . Quando a parte imaginária é grande em comparação com a parte real, a partícula é geralmente considerada mais uma ressonância do que uma partícula. Isso ocorre porque na teoria quântica de campos uma partícula de massa M (um número real ) é frequentemente trocada entre duas outras partículas quando não há energia suficiente para criá-la, se o tempo para viajar entre essas outras partículas for suficientemente curto, da ordem 1 / M, de acordo com o princípio da incerteza . Para uma partícula de massa$${\ displaystyle \ scriptstyle M + i \ Gamma}, a partícula pode viajar pelo tempo 1 / M, mas decai após o tempo da ordem de $${\ displaystyle \ scriptstyle 1 / \ Gamma}. E se{\ displaystyle \ scriptstyle \ Gama> M}então a partícula geralmente decai antes de completar sua viagem. ^[1]

Distribuição relativística de Breit – Wigner

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  (Redirecionado da distribuição Relativistic Breit-Wigner )

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A distribuição relativística de Breit – Wigner (após a fórmula de ressonância nuclear de 1936 ^[1] de Gregory Breit e Eugene Wigner ) é uma distribuição de probabilidade contínua com a seguinte função de densidade de probabilidade , ^[2]

$${\ displaystyle f (E) = {\ frac {k} {\ left (E ^ {2} -M ^ {2} \ right) ^ {2} + M ^ {2} \ Gamma ^ {2}}} ~,}

onde k é uma constante de proporcionalidade, igual a

$${\ displaystyle k = {\ frac {2 {\ sqrt {2}} M \ Gamma \ gamma} {\ pi {\ sqrt {M ^ {2} + \ gamma}}}} ~~~~}   com   $${\ displaystyle ~~~~ \ gama = {\ sqrt {M ^ {2} \ left (M ^ {2} + \ Gamma ^ {2} \ right)}} ~.}

(Esta equação é escrita usando unidades naturais , ħ = c = 1. )

É mais frequentemente usado para modelar ressonâncias (partículas instáveis) na física de alta energia . Nesse caso, E é a energia do centro de massa que produz a ressonância, M é a massa da ressonância e Γ é a largura da ressonância (ou largura de decaimento ), relacionada à sua vida útil média de acordo com τ = 1 / Γ . (Com unidades incluídas, a fórmula é τ = ħ / Γ .)

Uso [ editar ]

A probabilidade de produzir a ressonância em uma determinada energia E é proporcional a f ( E ) , de modo que um gráfico da taxa de produção da partícula instável em função da energia traça a forma da distribuição relativística de Breit-Wigner. Observe que para valores de E fora do máximo em M, tal que | E ²  -  M ² | = M Γ , (daí | E  -  M | = Γ / 2 para M  Γ Γ ), a distribuição fatenuou para metade do seu valor máximo, o que justifica o nome para Γ, largura na metade do máximo .

No limite de largura de fuga, Γ → 0, a partícula se torna estável como a distribuição de Lorentz F afia infinitamente a 2 Mδ ( E ²  -  H ² ) .

Em geral, Γ também pode ser uma função de E ; essa dependência é tipicamente importante apenas quando Γ não é pequena em comparação com M e a dependência do espaço de fase da largura precisa ser levada em consideração. (Por exemplo, no decaimento do méson rho em um par de pions .) O fator de M ² que multiplica Γ ² também deve ser substituído por E ² (ou E ⁴ / M ² , etc.) quando a ressonância é ampla . ^[3]

A forma da distribuição relativística de Breit-Wigner surge do propagador de uma partícula instável, ^[4] que possui um denominador da forma p ² - M ² + iM Γ . (Aqui, p ² é o quadrado do momento quatro transportado por essa partícula no diagrama de Feynman da árvore envolvido.) O propagador em sua estrutura de repouso é proporcional à amplitude mecânica quântica para o decaimento utilizado para reconstruir essa ressonância,

$${\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {k}} {\ left (E ^ {2} -M ^ {2} \ right) + iM \ Gamma}} ~.}

A distribuição de probabilidade resultante é proporcional ao quadrado absoluto da amplitude; portanto, a distribuição relativística de Breit-Wigner acima para a função de densidade de probabilidade.

A forma dessa distribuição é semelhante à amplitude da solução da equação clássica de movimento para um oscilador harmônico acionado, amortecido e acionado por uma força externa senoidal . Possui a forma de ressonância padrão da distribuição de Lorentz ou Cauchy , mas envolve variáveis ​​relativísticas s  =  p ² , aqui =  E ² . A distribuição é a solução da equação diferencial para a amplitude ao quadrado em relação à energia (frequência) de energia, em um oscilador forçado clássico,

$${\ displaystyle f '({\ text {E}}) \ left (\ left ({\ text {E}} ^ {2} -M ^ {2} \ right) ^ {2} + \ Gamma ^ {2 } M ^ {2} \ right) -4 {\ text {E}} f ({\ text {E}}) (M - {\ text {E}}) ({\ text {E}} + M) = 0}

com

$${\ displaystyle f (M) = {\ frac {k} {\ Gamma ^ {2} M ^ {2}}}. ~}

Mais informações: Distribuição Cauchy

Ampliação Gaussian [ editar ]

No experimento, o feixe incidente que produz ressonância sempre apresenta alguma propagação de energia em torno de um valor central. Geralmente, essa é uma distribuição gaussiana / normal . A forma de ressonância resultante, neste caso, é dada pela convolução da distribuição Breit-Wigner e Gaussiana,

$${\ displaystyle V_ {2} (E; M, \ Gamma, k, \ sigma) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {k} {(E '^ {2} -M ^ {2}) ^ {2} + (M \ Gamma) ^ {2}}} {\ frac {1} {\ sigma {\ sqrt {2 \ pi}}}} e ^ {- {\ frac {( E'-E) ^ {2}} {2 \ sigma ^ {2}}}} dE '.}

Esta função pode ser simplificada ^[5] através da introdução de novas variáveis,

$${\ displaystyle t = {\ frac {E-E '} {{\ sqrt {2}} \ sigma}}, \ quad u_ {1} = {\ frac {EM} {{\ sqrt {2}} \ sigma }}, \ quad u_ {2} = {\ frac {E + M} {{\ sqrt {2}} \ sigma}}, \ quad a = {\ frac {k \ pi} {2 \ sigma ^ {2 }}},}

obter

$${\ displaystyle V_ {2} (E; M, \ Gamma, k, \ sigma) = {\ frac {H_ {2} (a, u_ {1}, u_ {2})} {\ sigma ^ {2} 2 {\ sqrt {\ pi}}}},}

onde a função de ampliação de linha relativística ^[5] tem a seguinte definição,

$${\ displaystyle H_ {2} (a, u_ {1}, u_ {2}) = {\ frac {a} {\ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {e ^ {- t ^ {2}}} {(u_ {1} -t) ^ {2} (u_ {2} -t) ^ {2} + a ^ {2}}} dt.}

$${\ displaystyle H_ {2}}é a contrapartida relativística da função de ampliação de linha semelhante ^[6] para o perfil Voigt usado em espectroscopia (consulte também a Seção 7.19 de ^[7] )

Uma quantidade está sujeita a deterioração exponencial se diminuir a uma taxa proporcional ao seu valor atual. Simbolicamente, esse processo pode ser expresso pela seguinte equação diferencial, onde N é a quantidade e λ (lambda) é uma taxa positiva chamada constante de decaimento exponencial :

$${\ displaystyle {\ frac {dN} {dt}} = - \ lambda N.}

A solução para esta equação (veja derivação abaixo) é:

$${\ displaystyle N (t) = N_ {0} e ^ {- \ lambda t},}

onde N ( t ) é a quantidade no tempo t , N ₀ = N (0) é a quantidade inicial, ou seja, a quantidade no tempo t = 0, e a constante λ é chamada constante de decaimento , constante de desintegração , ^{[1 ]} constante de taxa , ^[2] ou constante de transformação . ^[3]

Medindo taxas de deterioração [ editar ]

Tempo de vida médio [ editar ]

Se a quantidade em decomposição, N ( t ), é o número de elementos discretos em um determinado conjunto , é possível calcular o período médio de tempo que um elemento permanece no conjunto. Isso é chamado de vida útil média (ou simplesmente vida útil ), onde a constante de tempo exponencial ,$${\ displaystyle \ tau}, refere-se à taxa de decaimento, λ, da seguinte maneira:

$${\ displaystyle \ tau = {\ frac {1} {\ lambda}}.}

A vida útil média pode ser vista como um "tempo de escala", porque a equação de decaimento exponencial pode ser escrita em termos da vida útil média, $${\ displaystyle \ tau}, em vez da constante de decaimento, λ:

$${\ displaystyle N (t) = N_ {0} e ^ {- t / \ tau},}

e essa $${\ displaystyle \ tau}é o tempo no qual a população da montagem é reduzida para 1 / e ≈ 0,367879441 vezes o seu valor inicial.

Por exemplo, se a população inicial da montagem, N (0), for 1000, a população no momento$${\ displaystyle \ tau}, $${\ displaystyle N (\ tau)}, é 368.

Uma equação muito semelhante será vista abaixo, que surge quando a base do exponencial é escolhida para ser 2, em vez de e . Nesse caso, o tempo de escala é a "meia-vida".

Meia-vida [ editar ]

Artigo principal: Meia-vida

Uma característica mais intuitiva da deterioração exponencial para muitas pessoas é o tempo necessário para que a quantidade em decomposição caia para metade do seu valor inicial. Esse tempo é chamado de meia-vida e geralmente é indicado pelo símbolo t _1/2 . A meia-vida pode ser escrita em termos da constante de decaimento, ou a vida útil média, como:

$${\ displaystyle t_ {1/2} = {\ frac {\ ln (2)} {\ lambda}} = \ tau \ ln (2).}

Quando esta expressão é inserida para $${\ displaystyle \ tau} na equação exponencial acima, e ln 2 é absorvido na base, essa equação se torna:

$${\ displaystyle N (t) = N_ {0} 2 ^ {- t / t_ {1/2}}. \,}

Assim, a quantidade de material restante é 2 ⁻¹ = 1/2 aumentada para o número (inteiro ou fracionário) de meias-vidas que passaram. Assim, após 3 meias-vidas, restarão 1/2 ³  = 1/8 do material original.

Portanto, a vida útil média $${\ displaystyle \ tau} é igual à meia-vida dividida pelo logaritmo natural de 2 ou:

$${\ displaystyle \ tau = {\ frac {t_ {1/2}} {\ ln (2)}} \ aproximadamente 1,44 \ cdot t_ {1/2}.}

Por exemplo, o polônio -210 tem uma meia-vida de 138 dias e uma vida útil média de 200 dias.

Solução da equação diferencial [ editar ]

A equação que descreve a deterioração exponencial é

$${\ displaystyle {\ frac {dN} {dt}} = - \ lambda N}

ou, reorganizando (aplicando a técnica chamada separação de variáveis ),

$${\ displaystyle {\ frac {dN} {N}} = - \ lambda dt.}

Integrando, temos

$${\ displaystyle \ ln N = - \ lambda t + C \,}

onde C é a constante de integração e, portanto,

$${\ displaystyle N (t) = e ^ {C} e ^ {- \ lambda t} = N_ {0} e ^ {- \ lambda t} \,}

onde a substituição final, N ₀ = e ^C , é obtida avaliando a equação em t = 0, pois N ₀ é definido como sendo a quantidade em t = 0.

Essa é a forma da equação mais comumente usada para descrever a deterioração exponencial. Qualquer um de decaimento constante, vida útil média ou meia-vida é suficiente para caracterizar o decaimento. A notação λ para a constante de decaimento é um remanescente da notação usual para um autovalor . Nesse caso, λ é o valor próprio do negativo do operador diferencial com N ( t ) como a função própria correspondente . As unidades da constante de decaimento são ^{−1 [ citação necessária ]} .

Derivação da vida útil média [ editar ]

Dado um conjunto de elementos, cujo número diminui para zero, a vida útil média ,$${\ displaystyle \ tau}, (também chamado simplesmente de tempo de vida ) é o valor esperado da quantidade de tempo antes de um objeto ser removido da montagem. Especificamente, se a vida útil individual de um elemento da montagem é o tempo decorrido entre algum tempo de referência e a remoção desse elemento da montagem, a vida útil média é a média aritmética das vidas individuais.

A partir da fórmula da população

$${\ displaystyle N = N_ {0} e ^ {- \ lambda t}, \,}

primeiro, seja c o fator de normalização para converter em uma função de densidade de probabilidade :

$${\ displaystyle 1 = \ int _ {0} ^ {\ infty} c \ cdot N_ {0} e ^ {- \ lambda t} \, dt = c \ cdot {\ frac {N_ {0}} {\ lambda }}}

ou, na reorganização,

$${\ displaystyle c = {\ frac {\ lambda} {N_ {0}}}.}

A deterioração exponencial é um múltiplo escalar da distribuição exponencial (ou seja, a vida útil individual de cada objeto é distribuída exponencialmente), que possui um valor esperado bem conhecido . Podemos computar aqui usando a integração por partes .

$${\ displaystyle \ tau = \ langle t \ rangle = \ int _ {0} ^ {\ infty} t \ cdot c \ cdot N_ {0} e ^ {- \ lambda t} \, dt = \ int _ {0 } ^ {\ infty} \ lambda te ^ {- \ lambda t} \, dt = {\ frac {1} {\ lambda}}.}

Decaimento por dois ou mais processos [ editar ]

Veja também: Fração de ramificação

Uma quantidade pode decair por dois ou mais processos diferentes simultaneamente. Em geral, esses processos (geralmente chamados de "modos de decaimento", "canais de decaimento", "rotas de decaimento" etc.) têm probabilidades diferentes de ocorrer e, portanto, ocorrem em taxas diferentes com meias-vidas diferentes, em paralelo. A taxa total de decaimento da quantidade  N é dada pela soma das rotas de decaimento; portanto, no caso de dois processos:

$${\ displaystyle - {\ frac {dN (t)} {dt}} = N \ lambda _ {1} + N \ lambda _ {2} = (\ lambda _ {1} + \ lambda _ {2}) N .}

A solução para esta equação é dada na seção anterior, onde a soma de $${\ displaystyle \ lambda _ {1} + \ lambda _ {2} \,} é tratado como uma nova constante de decaimento total $${\ displaystyle \ lambda _ {c}}.

$${\ displaystyle N (t) = N_ {0} e ^ {- (\ lambda _ {1} + \ lambda _ {2}) t} = N_ {0} e ^ {- (\ lambda _ {c}) t}.}

A vida média parcial associada a processos individuais é, por definição, o inverso multiplicativo da constante de decaimento parcial correspondente:$${\ displaystyle \ tau = 1 / \ lambda}. Um combinado$${\ displaystyle \ tau _ {c}} pode ser dado em termos de $${\ displaystyle \ lambda}s:

$${\ displaystyle {\ frac {1} {\ tau _ {c}}} = \ lambda _ {c} = \ lambda _ {1} + \ lambda _ {2} = {\ frac {1} {\ tau _ {1}}} + {\ frac {1} {\ tau _ {2}}}}

$${\ displaystyle \ tau _ {c} = {\ frac {\ tau _ {1} \ tau _ {2}} {\ tau _ {1} + \ tau _ {2}}}.}

Como as meias-vidas diferem da vida média $${\ displaystyle \ tau} por um fator constante, a mesma equação vale em termos das duas meias-vidas correspondentes:

$${\ displaystyle T_ {1/2} = {\ frac {t_ {1} t_ {2}} {t_ {1} + t_ {2}}}}

Onde $${\ displaystyle T_ {1/2}} é a meia-vida combinada ou total do processo, $${\ displaystyle t_ {1}} e $${\ displaystyle t_ {2}}são as meias-vidas parciais denominadas dos processos correspondentes. Os termos "meia-vida parcial" e "vida média parcial" denotam quantidades derivadas de uma constante de decaimento como se o modo de decaimento fornecido fosse o único modo de decaimento para a quantidade. O termo "meia-vida parcial" é enganoso, porque não pode ser medido como um intervalo de tempo para o qual uma certa quantidade é reduzida pela metade .

Em termos de constantes de decaimento separadas, a meia-vida total $${\ displaystyle T_ {1/2}} pode ser mostrado para ser

$${\ displaystyle T_ {1/2} = {\ frac {\ ln 2} {\ lambda _ {c}}} = {\ frac {\ ln 2} {\ lambda _ {1} + \ lambda _ {2} }}.}

Para uma deterioração por três processos exponenciais simultâneos, a meia-vida total pode ser calculada como acima:

$${\ displaystyle T_ {1/2} = {\ frac {\ ln 2} {\ lambda _ {c}}} = {\ frac {\ ln 2} {\ lambda _ {1} + \ lambda _ {2} + \ lambda _ {3}}} = {\ frac {t_ {1} t_ {2} t_ {3}} {(t_ {1} t_ {2}) + (t_ {1} t_ {3}) + (t_ {2} t_ {3})}}.}